Решение

Условие

$12.1.3.$ На рисунке изображено электрическое поле плоской синусоидальной волны в нулевой момент времени. Направление распространения волны указано стрелкой. Как зависит напряженность электрического поля от координаты $z$ и времени $t$?

Решение

Общее уравнение плоской синусоидальной электромагнитной волны имеет вид:
$$E(z,t) = E_0 \sin(At + Bz + \varphi_0)$$
где $A$, $B$ и $\varphi_0$ — некоторые константы.

Из условия задачи (опираясь на график волны в начальный момент времени $t = 0$) известно, что профиль волны описывается уравнением:
$$E(z,0) = E_0 \sin\left(\frac{2\pi}{\lambda} z\right)$$
где $\lambda$ — длина волны.

Подставляя $t = 0$ в общее уравнение, приравниваем выражения:
$$E_0 \sin(Bz + \varphi_0) = E_0 \sin\left(\frac{2\pi}{\lambda} z\right)$$

Сравнивая фазы, находим пространственную константу и начальную фазу:
$$B = \frac{2\pi}{\lambda}, \quad \varphi_0 = 0$$

Так как волна распространяется в положительном направлении оси $z$ с фазовой скоростью $c$, фаза волны $\varphi = At + Bz + \varphi_0$ для фиксированной точки на профиле волны должна оставаться постоянной. Продифференцируем полную фазу по времени:
$$\frac{d\varphi}{dt} = A + B \frac{dz}{dt} = 0$$

Учитывая, что скорость распространения волны $\frac{dz}{dt} = c$, получаем:
$$A + Bc = 0 \implies A = -Bc = -\frac{2\pi c}{\lambda}$$

Подставляем найденные константы $A$, $B$ и $\varphi_0$ в исходное общее уравнение:
$$E(z,t) = E_0 \sin\left(-\frac{2\pi c}{\lambda} t + \frac{2\pi}{\lambda} z\right) = E_0 \sin\left[\frac{2\pi}{\lambda}(z - ct)\right]$$