| @@ -1,13 +1,9 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $12.1.3.$ [Вставьте условие задачи] |
| |
| |
| |
| ### Решение |
| |
| |
| |
| ### Условие |
| |
| |
| |
| $12.1.3.$ На рисунке изображено электрическое поле плоской синусоидальной волны в нулевой момент времени. Направление распространения волны указано стрелкой. Как зависит напряженность электрического поля от координаты $z$ и времени $t$? |
| $12.1.3.$ На рисунке изображено электрическое поле плоской синусоидальной волны в нулевой момент времени. Направление распространения волны указано стрелкой. Как зависит напряженность электрического поля от координаты $z$ и времени $t$? |
| |
| |
| |
|  |
| |
| |
| ### Решение |
| ### Решение |
| |
| |
| Общее уравнение плоской синусоидальной электромагнитной волны имеет вид: |
| Общее уравнение плоской синусоидальной электромагнитной волны имеет вид: |
| $$E(z,t) = E_0 \sin(At + Bz + \varphi_0)$$ | | $$E(z,t) = E_0 \sin(At + Bz + \varphi_0)$$ |
| где $A$, $B$ и $\varphi_0$ — некоторые константы. | | где $A$, $B$ и $\varphi_0$ — некоторые константы. |
| | | |
| Из условия задачи (опираясь на график волны в начальный момент времени $t = 0$) известно, что профиль волны описывается уравнением: | | Из условия задачи (опираясь на график волны в начальный момент времени $t = 0$) известно, что профиль волны описывается уравнением: |
| $$E(z,0) = E_0 \sin\left(\frac{2\pi}{\lambda} z\right)$$ | | $$E(z,0) = E_0 \sin\left(\frac{2\pi}{\lambda} z\right)$$ |
| где $\lambda$ — длина волны. | | где $\lambda$ — длина волны. |
| | | |
| Подставляя $t = 0$ в общее уравнение, приравниваем выражения: | | Подставляя $t = 0$ в общее уравнение, приравниваем выражения: |
| $$E_0 \sin(Bz + \varphi_0) = E_0 \sin\left(\frac{2\pi}{\lambda} z\right)$$ | | $$E_0 \sin(Bz + \varphi_0) = E_0 \sin\left(\frac{2\pi}{\lambda} z\right)$$ |
| | | |
| Сравнивая фазы, находим пространственную константу и начальную фазу: | | Сравнивая фазы, находим пространственную константу и начальную фазу: |
| $$B = \frac{2\pi}{\lambda}, \quad \varphi_0 = 0$$ | | $$B = \frac{2\pi}{\lambda}, \quad \varphi_0 = 0$$ |
| | | |
| Так как волна распространяется в положительном направлении оси $z$ с фазовой скоростью $c$, фаза волны $\varphi = At + Bz + \varphi_0$ для фиксированной точки на профиле волны должна оставаться постоянной. Продифференцируем полную фазу по времени: | | Так как волна распространяется в положительном направлении оси $z$ с фазовой скоростью $c$, фаза волны $\varphi = At + Bz + \varphi_0$ для фиксированной точки на профиле волны должна оставаться постоянной. Продифференцируем полную фазу по времени: |
| $$\frac{d\varphi}{dt} = A + B \frac{dz}{dt} = 0$$ | | $$\frac{d\varphi}{dt} = A + B \frac{dz}{dt} = 0$$ |
| | | |
| Учитывая, что скорость распространения волны $\frac{dz}{dt} = c$, получаем: | | Учитывая, что скорость распространения волны $\frac{dz}{dt} = c$, получаем: |
| $$A + Bc = 0 \implies A = -Bc = -\frac{2\pi c}{\lambda}$$ | | $$A + Bc = 0 \implies A = -Bc = -\frac{2\pi c}{\lambda}$$ |
| | | |
| Подставляем найденные константы $A$, $B$ и $\varphi_0$ в исходное общее уравнение: | | Подставляем найденные константы $A$, $B$ и $\varphi_0$ в исходное общее уравнение: |
