Edits to “Условие”, “Решение”, “Две стоячие волны”

igor edited
View solution History
revision #20455 parent #20289 ← older
ru/3.9.22.md +80 −7
@@ -1,24 +1,97 @@
### Условие
−$3.9.22.$ Колебания в струне возбуждают, пропуская по ней переменный ток так, что магнитная сила со стороны небольшого магнита $M$ меняется гармонически. Частота тока отвечает третьей гармонике струны. Длина струны $l$. Где нужно поместить магнит, чтобы амплитуда колебаний была наибольшей?
+$3.9.22.$ Колебания в струне возбуждают, пропуская по ней переменный ток так, что магнитная сила со стороны небольшого магнита $M$ меняется гармонически. Частота тока отвечает третьей гармонике струны. Длина струны $L$. Где нужно поместить магнит, чтобы амплитуда колебаний была наибольшей?
![К задаче $3.9.22$|406x862, 50%](../../img/3.9.22/39220.png)
### Решение
−![|2000x1500, 50%](../../img/3.9.22/3922a.jpg)
+Технический подход. Магнит действует на такой малый участок, что посчитаем его предельно жестким и безмассовым. Тогда можно считать в месте действия магнита тонкая безмассовая стенка, на которой должны выполняться определенные граничные условия. В такой постановке задача аналогична задаче о вынужденных колебания воздуха в трубе из-за колебания тонкого безмассового поршня в произвольном месте внутри трубы [1].
−![|2000x1500, 50%](../../img/3.9.22/3922b.jpg)
−![|2000x1500, 50%](../../img/3.9.22/3922c.jpg)
+#### Две стоячие волны
+Пусть один конце струны в координате $x = 0$. Другой в $x = L$. Магнит действует на малый участок в координате $0 < x = x_1 < L$.
−Законы для давлений качественно верные. Подумайте точно.
+По сказанной идее считаем, что на участках, отделенных координатой $x_1$, образуются свои стоячие волны.
−Проверяющее сопоставление — в задаче $3.9.11$ резонанс в стержне, когда источник силы в пучности смещения.
+На участке с координатами от $0$ до $x_1$ устанавливается своя стоячая волна напряжения с учетом, что в $x = 0$ напряжение максимально:
+$$
+\sigma_A = A\cos kx,
+$$
+где $A$ есть амплитуда напряжения этой в стоячей волне, $k = 2\pi/\lambda$ (временной частью напряжения не интересуемся).
+
+На участке с координатами от $x_1$ до $L$ с учетом, что в $x = L$ напряжение максимально:
+
+$$
+\sigma_B = B\cos\left[k\left(x - L\right)\right],
+$$
+
+где $B$ есть амплитуда напряжения в этой стоячей волне, $k = 2\pi/\lambda$ (временной частью напряжения не интересуемся).
+
+Величины $A, B$ есть амплитуды алгебраические (могут быть отрицательными) из-за неоднозначности выбора между законом положительного отрицательного косинуса в формуле напряжения.
+
+По $\sigma = \rho vc$ (как $p = \rho vc$) и тому, что скорость в волне стоячей по координате отстает от давления на $\pi/2$ (следствие дифференцирования, например). В волне для дальнейшего запишем законы скорости в волнах напряжений $\sigma_A, \sigma_B$ соответственно
+
+$$
+v_A = \frac{A}{\rho c}\sin kx
+$$
+
+и
+
+$$
+v_B = \frac{B}{\rho c}\sin\left[k\left(x - L\right)\right].
+$$
+
+
+#### Граничные условия
+
+Пусть амплитуда напряжения со стороны магнита $\sigma^*$, тогда на безмассовом участке его действия по второму закону Ньютона
+
+$$
+\sigma_A(x_1) - \sigma_B(x_1) = \sigma^*.\tag{1}
+$$
+
+А неразрывность концов струны в точке $x_1$ требует равенство скоростей
+
+$$
+v_A(x_1) = v_B(x_1).\tag{2}
+$$
+
+Используя формулы предыдущие по условиям $(1), (2)$ находим сначала для величины $B$:
+
+$$
+\boxed{B = \sigma^*\frac{\sin kx_1}{\sin\left(-kL\right)}}
+$$
+
+и далее
+
+$$
+\boxed{A = \sigma^*\frac{\sin\left[k\left(x_1 - L\right)\right]}{\sin\left(-kL\right)}.}
+$$
+
+
+#### Резонанс
+
+У нас по задаче
+
+$$
+\frac{\lambda}{2} = \frac{L}{3}.
+$$
+
+Это приводит к тому, что знаменатели выражений для $A, B$ равны нулю и амплитуды напряжения стремятся к бесконечности независимо(!) от положения магнита в модели без потерь и точной частоте третьей гармоники струны! Бесконечны в таком случае и амплитуды колебаний.
+
+Если в системе есть потери или частота не точно равна одной из собственных частот струны, то знаменатели $A, B$ не равны нулю и чтобы максимизировать значения $A, B$ нужно максимизировать их числители (максимизируется и амплитуда колебаний).
+
+Поиск максимумов указанных числителей дает допустимые максимизирующие значения $x_1$:
+
+$$
+\boxed{x_1 = \frac{L}{6}, \frac{L}{2}, \frac{5L}{6}.}
+$$
+
Ответ по изданию 1981 г.
@@ -37,4 +110,4 @@Литература
#### Ответ
−Около пучностей смещений на расстоянии $l/6$ или $l/2$ от концов струны.
+Около пучностей смещений на расстоянии $L/6$ или $L/2$ от концов струны.