Решение

По идее задачи $3.8.1$ можем в каждом стержне вначале считать циркуляцию частичных бегущих волн ширины стержней, которые как змейки туда-сюда отражаются с учетом приема задачи $3.8.6$ (при отражении меняется знак деформации). Каждая частичная прямоугольная волна перемещается по стержню противоположно другой частичной и имеет скорость частиц $v/2$ в соответствующем направлении.

В момент касания эти частичные волны-змейки в месте контакта уже проходят без изменений.

Кто понял этот подход понимает, что сжатие короткого стержня заканчивается через время $l/c$, где $c$ есть скорость бегущих волн в стержнях.

Через $2l/c$ короткий стержень разожмется и приобретет $\boxed{v}$ влево (в общих чертах: в короткий вошла частичная волна сжатия длинного стержня со своей противоположной скоростью и после отражения от свободной границы короткого успела дойти до границы касания с деформацией противоположного знака).

Далее записываем закон сохранения импульса системы:

$$Mv - mv = mv + MV,$$

где $V$ есть проекция конечной скорости центра масс длинного на направление начальной скорости длинного.

Отсюда

$$V = v\left(1 - 2\frac{m}{M}\right)$$

и с учетом $m/M = l/L$ для модуля:

$$\boxed{\left|V\right| = v \left|1 - 2l/L\right|.}$$