Колебания и волны > Наложение и отражение волн > Задача 3.8.6

Условие

$3.8.6.$ Скорость незакрепленного конца стержня из-за прихода волны продольного смещения с нулевого момента времени стала меняться по закону $v = v_0\sin\omega t$. Какова амплитуда смещения? На каких расстояниях от конца стержня образуются узлы и пучности скорости? узлы и пучности давления?

Решение

Эта задача есть в общем видоизменение задачи $3.8.4$ на случай свободного конца среды.

Решим эту задачу как ту, так как много совпадений вопросов.

Попробуйте показать (например, модель шаров), что отражение от свободного конца среды меняет знак смещения волны на противоположный (Сивухин). То есть, если на свобоный конец падает пусть прямоугольная для простоты волна сжатия, то отразится волна растяжения (положительный знак сменился отрицательным, например). Ну а волна разрежения, падающая на такой конец, даст отраженную волну сжатия. Далее считаем конец свободным (называем его границей), используем указанный факт изменения характера (знака) смещения в волне после отражения и используем прием задачи $3.8.3$ для нахождения результирующей волны после отражения основной падающей волны.

Получается, что можно считать, что к границе двигается синусоидальная волна падающая, а с другой стороны к границе двигается мнимая волна тоже синусоидальная, как бы отраженная относительно плоскости стены и отраженная относительно оси распространения волны (вроде копия, повернутая на $180^\circ$ в плокскости чертежа, который будет далее).

Вот рисунок, граница в $x=0$ совпадает с осью $y$, по которой читаем значения смещений волн.

Тут к границе слева движется реальная падающая, к границе справа движется мнимая. Они слева от границы в сумме дают результрующую волну.

Смещение в падающей волне слева направо описывается

$$
y=A\sin\left(\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}x\right);
$$

если что: смещение $y$ происходит вдоль направления распространения волны.

Смещение в мнимой волне справа налево описывается

$$
y'=A\sin\left(-\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}x\right).
$$

По Сивухину с обобщением на газы в бегущей(!) волне изменение давления связано со скоростью среды (шаров среды как бы)

$$
\Delta P_\text{б}=\rho cv
$$

Скорость в каждой волне колеблется как производная по времени колебаний смещения. Для падающей это

$$
v=\dot y=\omega A\cos\left(\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}x\right),
$$

для мнимой это

$$
v'=\dot y'=-\omega A\cos\left(-\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}x\right).
$$

Это описания волн скорости среды для каждой указанной волны.

Суммарное изменение давления

$$
\Delta P=\Delta P_\text{б}+\Delta P'_\text{б}
$$

для соответствующих скоростей $v$ и $v'$. Что дает

$$
\Delta P=\rho c\omega A\left[\cos\left(\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}x\right)-\cos\left(-\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}x\right)\right].\tag{1}
$$

На плоскости стены $x=0$ это дает

$$
\boxed{\Delta P=0.}
$$

Волны скоростей среды в бегущих волнах падающей и мнимой имеют одинаковые направления, поэтому при сложении в результирующую скорость обе положительны

$$
u=v+v'=2\omega A\sin\omega t\sin\frac{2\pi}{\lambda}x
$$

(применили тригонометрию).

продолжение...

Ответ

[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]