New solution

Valter edited
View solution History
revision #20591 newer →
ru/12.1.18.md +33 −0
@@ -0,0 +1,33 @@
+### Условие
+
+$12.1.18.$ [Вставьте условие задачи]
+
+### Решение
+
+### Условие
+
+$12.1.18^\ast$. Оцените глубину проникновения в проводник перпендикулярно падающей на его поверхность электромагнитной волны. Частота волны $\nu = 10^{15}\text{ Гц}$, число электронов проводимости в единице объема $n_e = 10^{22}\text{ см}^{-3}$.
+
+### Решение
+
+Для оценки глубины проникновения высокочастотной электромагнитной волны используется модель плазмы свободных электронов.
+На оптических частотах глубина проникновения поля (толщина скин-слоя) определяется плазменной частотой проводника $\omega_p$, которая в системе СИ равна:
+$$\omega_p = \sqrt{\frac{n_e e^2}{\varepsilon_0 m_e}}$$
+
+Подставим табличные значения ($e \approx 1.6 \cdot 10^{-19}\text{ Кл}$, $\varepsilon_0 \approx 8.85 \cdot 10^{-12}\text{ Ф/м}$, $m_e \approx 9.1 \cdot 10^{-31}\text{ кг}$) и концентрацию электронов $n_e = 10^{22}\text{ см}^{-3} = 10^{28}\text{ м}^{-3}$:
+$$\omega_p^2 = \frac{10^{28} \cdot (1.6 \cdot 10^{-19})^2}{8.85 \cdot 10^{-12} \cdot 9.1 \cdot 10^{-31}} \approx 3.18 \cdot 10^{31}\text{ рад}^2/\text{с}^2$$
+$$\omega_p \approx 5.6 \cdot 10^{15}\text{ рад/с}$$
+
+Круговая частота падающей волны $\omega = 2\pi\nu = 2\pi \cdot 10^{15} \approx 6.3 \cdot 10^{15}\text{ рад/с}$. Поскольку частота волны по порядку величины близка к плазменной частоте, для грубой оценки характерной глубины затухания поля $\delta$ в металле используется плазменная длина:
+$$\delta \approx \frac{c}{\omega_p}$$
+
+Выполним численный расчет:
+$$\delta \approx \frac{3 \cdot 10^8\text{ м/с}}{5.6 \cdot 10^{15}\text{ с}^{-1}} \approx 5.4 \cdot 10^{-8}\text{ м}$$
+Переводя в удобные единицы, получаем $\delta \approx 5 \cdot 10^{-6}\text{ см}$, что равно $50\text{ нм}$.
+
+#### Ответ
+$\delta \approx 5 \cdot 10^{-6}\text{ см}$ ($50\text{ нм}$).
+
+#### Ответ
+
+[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]