| @@ -1,14 +1,10 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $12.1.19.$ [Вставьте условие задачи] |
| |
| |
| |
| ### Решение |
| |
| |
| |
| ### Условие |
| |
| |
| |
| $12.1.19$. При достаточно большом числе электронов проводимости в единице объема металла составляющая напряженности электрического поля волны, параллельная поверхности металла, ослабляется практически до нуля. Поэтому решение задачи о взаимодействии электромагнитной волны с металлом сводится к отысканию вблизи его поверхности двух таких бегущих волн, наложение которых дает нулевую составляющую напряженности электрического поля вдоль поверхности. Такими электромагнитными волнами являются при перпендикулярном падении на металлическую поверхность две волны: одна реально движется в пространстве вне металла, а другая, фиктивная, «перевернутая» волна движется навстречу первой внутри металла (на рисунке эта область вместе с фиктивной волной находится справа от плоскости $AB$). Фиктивная волна становится реальной, как только она выходит за границу $AB$, где она накладывается на первую волну. Наложение этих волн слева от плоскости $AB$ дает нулевую напряженность электрического поля вдоль $AB$ и, следовательно, решает поставленную задачу. |
| $12.1.19$. При достаточно большом числе электронов проводимости в единице объема металла составляющая напряженности электрического поля волны, параллельная поверхности металла, ослабляется практически до нуля. Поэтому решение задачи о взаимодействии электромагнитной волны с металлом сводится к отысканию вблизи его поверхности двух таких бегущих волн, наложение которых дает нулевую составляющую напряженности электрического поля вдоль поверхности. Такими электромагнитными волнами являются при перпендикулярном падении на металлическую поверхность две волны: одна реально движется в пространстве вне металла, а другая, фиктивная, «перевернутая» волна движется навстречу первой внутри металла (на рисунке эта область вместе с фиктивной волной находится справа от плоскости $AB$). Фиктивная волна становится реальной, как только она выходит за границу $AB$, где она накладывается на первую волну. Наложение этих волн слева от плоскости $AB$ дает нулевую напряженность электрического поля вдоль $AB$ и, следовательно, решает поставленную задачу. |
| Используя описанный прием, найдите напряженность электрического и индукцию магнитного поля вблизи металлической плоскости в момент, когда вершина падающей волны достигает плоскости $AB$. |
| Используя описанный прием, найдите напряженность электрического и индукцию магнитного поля вблизи металлической плоскости в момент, когда вершина падающей волны достигает плоскости $AB$. |
| |
| |
| |
|  |
| |
| |
| ### Решение |
| ### Решение |
| |
| |
| Отражение от идеального металла моделируется с помощью фиктивной волны, которая внутри металла распространяется к поверхности навстречу падающей. Вне металла существует реальная падающая волна; внутри фиктивная волна движется в противоположном направлении. При их суперпозиции тангенциальное электрическое поле на поверхности (плоскость $AB$) обращается в нуль. Эта фиктивная волна при пересечении границы становится реальной отраженной волной. |
| Отражение от идеального металла моделируется с помощью фиктивной волны, которая внутри металла распространяется к поверхности навстречу падающей. Вне металла существует реальная падающая волна; внутри фиктивная волна движется в противоположном направлении. При их суперпозиции тангенциальное электрическое поле на поверхности (плоскость $AB$) обращается в нуль. Эта фиктивная волна при пересечении границы становится реальной отраженной волной. |
| | | |
| <b>Выбор геометрии и запись волн:</b> | | <b>Выбор геометрии и запись волн:</b> |
| Поверхность металла — плоскость $x = 0$. Металл занимает полупространство $x > 0$; вакуум занимает $x < 0$. | | Поверхность металла — плоскость $x = 0$. Металл занимает полупространство $x > 0$; вакуум занимает $x < 0$. |
| Падающая волна (движется в направлении $+x$): | | Падающая волна (движется в направлении $+x$): |
| $$\vec{E}_i = E_0 \cos(\omega t - kx)\hat{y}, \quad \vec{B}_i = \frac{E_0}{c} \cos(\omega t - kx)\hat{z}$$ | | $$\vec{E}_i = E_0 \cos(\omega t - kx)\hat{y}, \quad \vec{B}_i = \frac{E_0}{c} \cos(\omega t - kx)\hat{z}$$ |
| Отраженная волна (реальная, движется в направлении $-x$): | | Отраженная волна (реальная, движется в направлении $-x$): |
| $$\vec{E}_r = -E_0 \cos(\omega t + kx)\hat{y}, \quad \vec{B}_r = \frac{E_0}{c} \cos(\omega t + kx)\hat{z}$$ | | $$\vec{E}_r = -E_0 \cos(\omega t + kx)\hat{y}, \quad \vec{B}_r = \frac{E_0}{c} \cos(\omega t + kx)\hat{z}$$ |
| Изменение знака у $\vec{E}_r$ гарантирует, что суммарная тангенциальная компонента обращается в нуль при $x = 0$. | | Изменение знака у $\vec{E}_r$ гарантирует, что суммарная тангенциальная компонента обращается в нуль при $x = 0$. |
| | | |
| <b>Электромагнитное поле вне металла ($x < 0$):</b> | | <b>Электромагнитное поле вне металла ($x < 0$):</b> |
| Суперпозиция падающей и отраженной волн дает стоячую волну: | | Суперпозиция падающей и отраженной волн дает стоячую волну: |
| $$\vec{E}(x, t) = E_0 [\cos(\omega t - kx) - \cos(\omega t + kx)]\hat{y} = 2E_0 \sin(kx) \sin(\omega t)\hat{y}$$ | | $$\vec{E}(x, t) = E_0 [\cos(\omega t - kx) - \cos(\omega t + kx)]\hat{y} = 2E_0 \sin(kx) \sin(\omega t)\hat{y}$$ |
| $$\vec{B}(x, t) = \frac{E_0}{c} [\cos(\omega t - kx) + \cos(\omega t + kx)]\hat{z} = \frac{2E_0}{c} \cos(kx) \cos(\omega t)\hat{z}$$ | | $$\vec{B}(x, t) = \frac{E_0}{c} [\cos(\omega t - kx) + \cos(\omega t + kx)]\hat{z} = \frac{2E_0}{c} \cos(kx) \cos(\omega t)\hat{z}$$ |
| | | |
| <b>Момент, когда вершина (гребень) падающей волны достигает поверхности:</b> | | <b>Момент, когда вершина (гребень) падающей волны достигает поверхности:</b> |
| Гребень (положительный максимум $\vec{E}_i$) приходит в $x = 0$, когда $\cos(\omega t) = 1$, то есть при $\omega t = 0, 2\pi, \dots$ | | Гребень (положительный максимум $\vec{E}_i$) приходит в $x = 0$, когда $\cos(\omega t) = 1$, то есть при $\omega t = 0, 2\pi, \dots$ |
| Принимая $t = 0$, получаем: | | Принимая $t = 0$, получаем: |
| $$\vec{E}(x, 0) = 0 \quad \text{(всюду вне металла напряженность равна нулю)}$$ | | $$\vec{E}(x, 0) = 0 \quad \text{(всюду вне металла напряженность равна нулю)}$$ |
| $$\vec{B}(x, 0) = \frac{2E_0}{c} \cos(kx)\hat{z}$$ | | $$\vec{B}(x, 0) = \frac{2E_0}{c} \cos(kx)\hat{z}$$ |
| Вблизи самой металлической плоскости ($x \to 0^-$) индукция магнитного поля максимальна и равна $\vec{B} = \frac{2E_0}{c}\hat{z}$. | | Вблизи самой металлической плоскости ($x \to 0^-$) индукция магнитного поля максимальна и равна $\vec{B} = \frac{2E_0}{c}\hat{z}$. |
