Решение

Пусть $K'$ - система отсчёта конденсатора, а $K$ - лабораторная система. Ось $x'$ направим по нормали к пластинам в сторону движения электрона, а ось $y'$ - вдоль пластин; параллельные им оси системы $K$ обозначим через $x$ и $y$. Показания часов в системах $K'$ и $K$ обозначим соответственно через $t'$ и $t$. В системе $K'$ электрон проходит расстояние $d$ за время $\tau$ и достигает второй пластины со скоростью $v$. Через $c$ обозначим скорость света, через $m_e$ - массу покоя электрона, через $e$ - модуль его заряда, а через $E$ - модуль напряжённости поля конденсатора.

Сначала выразим расстояние $d$ через данные задачи. Работа электрического поля $eEd$ равна приращению энергии электрона; здесь $\gamma_v$ - множитель Лоренца, соответствующий скорости $v$:
$$eEd=(\gamma_v-1)m_ec^2, \qquad \gamma_v=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$$
Импульс электрона за время $\tau$ изменяется от нуля до $\gamma_vm_ev$, поэтому
$$eE\tau=\gamma_vm_ev.$$
Разделив первое равенство на второе, получим
$$d=\frac{c^2\tau}{v}\left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right).$$

Расчётный чертёж показывает направления скорости конденсатора в обоих случаях. Точка $A$ - место испускания электрона, точка $B$ - место его попадания на вторую пластину. Штриховая стрелка изображает движение электрона
в системе $K'$.

Обозначим через $\gamma_u$ множитель Лоренца, соответствующий скорости $u$:
$$\gamma_u=\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}.$$
Если система $K'$ движется относительно $K$ вдоль некоторой оси $s$ со скоростью $u$, обозначим через $\Delta t$ интервал между двумя событиями в лабораторной системе $K$, через $\Delta t'$ --- интервал между теми же событиями в системе $K'$, а через $\Delta s'$ --- изменение координаты вдоль направления относительного движения систем в системе $K'$. Тогда преобразования Лоренца дают
$$\Delta t=\gamma_u\left(\Delta t' +\frac{u\,\Delta s'}{c^2}\right).$$

а) Конденсатор движется поперек пластин.

Будем считать, что скорость $u$ направлена вдоль $x'$ в сторону движения электрона. Поэтому между событиями
испускания и попадания электрона на вторую пластину $\Delta t'=\tau$, а изменение координаты $x'$ равно $\Delta x'=d$.
Следовательно, лабораторное время движения $t_a$ равно
$$t_a=\gamma_u\left(\tau+\frac{ud}{c^2}\right) =\frac{\tau}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \left[1+\frac{u}{v} \left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\right].$$
Чтобы найти скорость на второй пластине, запишем преобразования
$x=\gamma_u(x'+ut')$ и
$t=\gamma_u(t'+ux'/c^2)$ и разделим их приращения. Получаем скорость $v_a$ электрона в системе $K$:
$$v_a=\frac{v+u}{1+uv/c^2}.$$

б) Конденсатор движется параллельно пластинам.

Теперь скорость $u$ направлена вдоль $y'$, а для двух рассматриваемых событий изменение координаты $y'$ равно $\Delta y'=0$. Поэтому лабораторное время движения $t_b$ равно
$$t_b=\gamma_u\tau=\frac{\tau}{\sqrt{1-u^2/c^2}}.$$
Из преобразований $y=\gamma_u(y'+ut')$, $t=\gamma_u(t'+uy'/c^2)$ и $x=x'$ следует, что на второй пластине компоненты скорости электрона в системе $K$ равны
$$v_x=\frac{v}{\gamma_u}, \qquad v_y=u.$$
Следовательно, модуль его скорости $v_b$ равен
$$v_b=\sqrt{v_x^2+v_y^2} =\sqrt{v^2+u^2-\frac{v^2u^2}{c^2}}.$$