$14.4.4.$ Во сколько раз изменится время движения электрона в задаче 14.4.3, если конденсатор и испущенные электроны двигаются со скоростью $u$: а) поперек пластин? б) параллельно пластинам? Чему равны в случаях а) и б) скорости электронов на второй пластине?
### Решение
Пусть $K'$ - система отсчёта конденсатора, а $K$ - лабораторная система. Ось $x'$ направим по нормали к пластинам в сторону движения электрона, а ось $y'$ - вдоль пластин; параллельные им оси системы $K$ обозначим через $x$ и $y$. Показания часов в системах $K'$ и $K$ обозначим соответственно через $t'$ и $t$. В системе $K'$ электрон проходит расстояние $d$ за время $\tau$ и достигает второй пластины со скоростью $v$. Через $c$ обозначим скорость света, через $m_e$ - массу покоя электрона, через $e$ - модуль его заряда, а через $E$ - модуль напряжённости поля конденсатора.
Сначала выразим расстояние $d$ через данные задачи. Работа электрического поля $eEd$ равна приращению энергии электрона; здесь $\gamma_v$ - множитель Лоренца, соответствующий скорости $v$:
\[
eEd=(\gamma_v-1)m_ec^2,
\qquad
\gamma_v=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.
\]
Импульс электрона за время $\tau$ изменяется от нуля до $\gamma_vm_ev$, поэтому
Расчётный чертёж показывает направления скорости конденсатора в обоих случаях. Точка $A$ - место испускания электрона, точка $B$ - место его попадания на вторую пластину. Штриховая стрелка изображает движение электрона
Обозначим через $\gamma_u$ множитель Лоренца, соответствующий скорости $u$:
\[
\gamma_u=\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}.
\]
Если система $K'$ движется относительно $K$ вдоль некоторой оси $s$ со скоростью $u$, обозначим через $\Delta t$ интервал между двумя событиями в лабораторной системе $K$, через $\Delta t'$ --- интервал между теми же событиями в системе $K'$, а через $\Delta s'$ --- изменение координаты вдоль направления относительного движения систем в системе $K'$. Тогда преобразования Лоренца дают
\[
\Delta t=\gamma_u\left(\Delta t'
@@ -36,7 +36,7 @@Решение
+\frac{u\,\Delta s'}{c^2}\right).
\]
−
#### а) Конденсатор движется поперек пластин.
+
а) Конденсатор движется поперек пластин.
Будем считать, что скорость $u$ направлена вдоль $x'$ в сторону движения электрона. Поэтому между событиями
испускания и попадания электрона на вторую пластину $\Delta t'=\tau$, а изменение координаты $x'$ равно $\Delta x'=d$.
Следовательно, лабораторное время движения $t_a$ равно
\[
t_a=\gamma_u\left(\tau+\frac{ud}{c^2}\right)
=\frac{\tau}{\sqrt{1-u^2/c^2}}
\left[1+\frac{u}{v}
\left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\right].
\]
Чтобы найти скорость на второй пластине, запишем преобразования
$x=\gamma_u(x'+ut')$ и
$t=\gamma_u(t'+ux'/c^2)$ и разделим их приращения. Получаем скорость $v_a$ электрона в системе $K$:
\[
@@ -54,7 +54,7 @@Решение
v_a=\frac{v+u}{1+uv/c^2}.
\]
−
#### б) Конденсатор движется параллельно пластинам.
+
б) Конденсатор движется параллельно пластинам.
Теперь скорость $u$ направлена вдоль $y'$, а для двух рассматриваемых событий изменение координаты $y'$ равно $\Delta y'=0$. Поэтому лабораторное время движения $t_b$ равно
\[
t_b=\gamma_u\tau=\frac{\tau}{\sqrt{1-u^2/c^2}}.
\]
Из преобразований $y=\gamma_u(y'+ut')$, $t=\gamma_u(t'+uy'/c^2)$ и $x=x'$ следует, что на второй пластине компоненты скорости электрона в системе $K$ равны
\[
v_x=\frac{v}{\gamma_u},
\qquad
v_y=u.
\]
Следовательно, модуль его скорости $v_b$ равен
\[
v_b=\sqrt{v_x^2+v_y^2}
=\sqrt{v^2+u^2-\frac{v^2u^2}{c^2}}.
\]
#### Ответ
а) время увеличится в
\[
\boxed{\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}
\left[1+\frac{u}{v}
\left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\right]}
\]
раза, а
\[
\boxed{v_a=\frac{v+u}{1+uv/c^2}};
\]
б) время увеличится в
\[
\boxed{\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}}
\]
раза, а
\[
\boxed{v_b=\sqrt{v^2+u^2-\frac{v^2u^2}{c^2}}}.
\]
В ответах сборника эти две пары формул напечатаны под переставленными обозначениями пунктов а) и б). Приведённый здесь ответ соответствует направлениям движения, указанным в условии.
unchanged lines 35
### Условие
### Условие
$14.4.4.$ Во сколько раз изменится время движения электрона в задаче 14.4.3, если конденсатор и испущенные электроны двигаются со скоростью $u$: а) поперек пластин? б) параллельно пластинам? Чему равны в случаях а) и б) скорости электронов на второй пластине?
$14.4.4.$ Во сколько раз изменится время движения электрона в задаче 14.4.3, если конденсатор и испущенные электроны двигаются со скоростью $u$: а) поперек пластин? б) параллельно пластинам? Чему равны в случаях а) и б) скорости электронов на второй пластине?
### Решение
### Решение
Пусть $K'$ - система отсчёта конденсатора, а $K$ - лабораторная система. Ось $x'$ направим по нормали к пластинам в сторону движения электрона, а ось $y'$ - вдоль пластин; параллельные им оси системы $K$ обозначим через $x$ и $y$. Показания часов в системах $K'$ и $K$ обозначим соответственно через $t'$ и $t$. В системе $K'$ электрон проходит расстояние $d$ за время $\tau$ и достигает второй пластины со скоростью $v$. Через $c$ обозначим скорость света, через $m_e$ - массу покоя электрона, через $e$ - модуль его заряда, а через $E$ - модуль напряжённости поля конденсатора.
Пусть $K'$ - система отсчёта конденсатора, а $K$ - лабораторная система. Ось $x'$ направим по нормали к пластинам в сторону движения электрона, а ось $y'$ - вдоль пластин; параллельные им оси системы $K$ обозначим через $x$ и $y$. Показания часов в системах $K'$ и $K$ обозначим соответственно через $t'$ и $t$. В системе $K'$ электрон проходит расстояние $d$ за время $\tau$ и достигает второй пластины со скоростью $v$. Через $c$ обозначим скорость света, через $m_e$ - массу покоя электрона, через $e$ - модуль его заряда, а через $E$ - модуль напряжённости поля конденсатора.
Сначала выразим расстояние $d$ через данные задачи. Работа электрического поля $eEd$ равна приращению энергии электрона; здесь $\gamma_v$ - множитель Лоренца, соответствующий скорости $v$:
Сначала выразим расстояние $d$ через данные задачи. Работа электрического поля $eEd$ равна приращению энергии электрона; здесь $\gamma_v$ - множитель Лоренца, соответствующий скорости $v$:
\[
\[
eEd=(\gamma_v-1)m_ec^2,
eEd=(\gamma_v-1)m_ec^2,
\qquad
\qquad
\gamma_v=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.
\gamma_v=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.
\]
\]
Импульс электрона за время $\tau$ изменяется от нуля до $\gamma_vm_ev$, поэтому
Импульс электрона за время $\tau$ изменяется от нуля до $\gamma_vm_ev$, поэтому
Расчётный чертёж показывает направления скорости конденсатора в обоих случаях. Точка $A$ - место испускания электрона, точка $B$ - место его попадания на вторую пластину. Штриховая стрелка изображает движение электрона
Расчётный чертёж показывает направления скорости конденсатора в обоих случаях. Точка $A$ - место испускания электрона, точка $B$ - место его попадания на вторую пластину. Штриховая стрелка изображает движение электрона
Обозначим через $\gamma_u$ множитель Лоренца, соответствующий скорости $u$:
Обозначим через $\gamma_u$ множитель Лоренца, соответствующий скорости $u$:
\[
\[
\gamma_u=\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}.
\gamma_u=\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}.
\]
\]
Если система $K'$ движется относительно $K$ вдоль некоторой оси $s$ со скоростью $u$, обозначим через $\Delta t$ интервал между двумя событиями в лабораторной системе $K$, через $\Delta t'$ --- интервал между теми же событиями в системе $K'$, а через $\Delta s'$ --- изменение координаты вдоль направления относительного движения систем в системе $K'$. Тогда преобразования Лоренца дают
Если система $K'$ движется относительно $K$ вдоль некоторой оси $s$ со скоростью $u$, обозначим через $\Delta t$ интервал между двумя событиями в лабораторной системе $K$, через $\Delta t'$ --- интервал между теми же событиями в системе $K'$, а через $\Delta s'$ --- изменение координаты вдоль направления относительного движения систем в системе $K'$. Тогда преобразования Лоренца дают
\[
\[
\Delta t=\gamma_u\left(\Delta t'
\Delta t=\gamma_u\left(\Delta t'
@@ -36,7 +36,7 @@Решение
+\frac{u\,\Delta s'}{c^2}\right).
+\frac{u\,\Delta s'}{c^2}\right).
\]
\]
#### а) Конденсатор движется поперек пластин.
а) Конденсатор движется поперек пластин.
Будем считать, что скорость $u$ направлена вдоль $x'$ в сторону движения электрона. Поэтому между событиями
Будем считать, что скорость $u$ направлена вдоль $x'$ в сторону движения электрона. Поэтому между событиями
испускания и попадания электрона на вторую пластину $\Delta t'=\tau$, а изменение координаты $x'$ равно $\Delta x'=d$.
испускания и попадания электрона на вторую пластину $\Delta t'=\tau$, а изменение координаты $x'$ равно $\Delta x'=d$.
Следовательно, лабораторное время движения $t_a$ равно
Следовательно, лабораторное время движения $t_a$ равно
\[
\[
t_a=\gamma_u\left(\tau+\frac{ud}{c^2}\right)
t_a=\gamma_u\left(\tau+\frac{ud}{c^2}\right)
=\frac{\tau}{\sqrt{1-u^2/c^2}}
=\frac{\tau}{\sqrt{1-u^2/c^2}}
\left[1+\frac{u}{v}
\left[1+\frac{u}{v}
\left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\right].
\left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\right].
\]
\]
Чтобы найти скорость на второй пластине, запишем преобразования
Чтобы найти скорость на второй пластине, запишем преобразования
$x=\gamma_u(x'+ut')$ и
$x=\gamma_u(x'+ut')$ и
$t=\gamma_u(t'+ux'/c^2)$ и разделим их приращения. Получаем скорость $v_a$ электрона в системе $K$:
$t=\gamma_u(t'+ux'/c^2)$ и разделим их приращения. Получаем скорость $v_a$ электрона в системе $K$:
\[
\[
@@ -54,7 +54,7 @@Решение
v_a=\frac{v+u}{1+uv/c^2}.
v_a=\frac{v+u}{1+uv/c^2}.
\]
\]
#### б) Конденсатор движется параллельно пластинам.
б) Конденсатор движется параллельно пластинам.
Теперь скорость $u$ направлена вдоль $y'$, а для двух рассматриваемых событий изменение координаты $y'$ равно $\Delta y'=0$. Поэтому лабораторное время движения $t_b$ равно
Теперь скорость $u$ направлена вдоль $y'$, а для двух рассматриваемых событий изменение координаты $y'$ равно $\Delta y'=0$. Поэтому лабораторное время движения $t_b$ равно
\[
\[
t_b=\gamma_u\tau=\frac{\tau}{\sqrt{1-u^2/c^2}}.
t_b=\gamma_u\tau=\frac{\tau}{\sqrt{1-u^2/c^2}}.
\]
\]
Из преобразований $y=\gamma_u(y'+ut')$, $t=\gamma_u(t'+uy'/c^2)$ и $x=x'$ следует, что на второй пластине компоненты скорости электрона в системе $K$ равны
Из преобразований $y=\gamma_u(y'+ut')$, $t=\gamma_u(t'+uy'/c^2)$ и $x=x'$ следует, что на второй пластине компоненты скорости электрона в системе $K$ равны
\[
\[
v_x=\frac{v}{\gamma_u},
v_x=\frac{v}{\gamma_u},
\qquad
\qquad
v_y=u.
v_y=u.
\]
\]
Следовательно, модуль его скорости $v_b$ равен
Следовательно, модуль его скорости $v_b$ равен
\[
\[
v_b=\sqrt{v_x^2+v_y^2}
v_b=\sqrt{v_x^2+v_y^2}
=\sqrt{v^2+u^2-\frac{v^2u^2}{c^2}}.
=\sqrt{v^2+u^2-\frac{v^2u^2}{c^2}}.
\]
\]
#### Ответ
#### Ответ
а) время увеличится в
а) время увеличится в
\[
\[
\boxed{\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}
\boxed{\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}
\left[1+\frac{u}{v}
\left[1+\frac{u}{v}
\left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\right]}
\left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\right]}
\]
\]
раза, а
раза, а
\[
\[
\boxed{v_a=\frac{v+u}{1+uv/c^2}};
\boxed{v_a=\frac{v+u}{1+uv/c^2}};
\]
\]
б) время увеличится в
б) время увеличится в
\[
\[
\boxed{\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}}
\boxed{\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}}
\]
\]
раза, а
раза, а
\[
\[
\boxed{v_b=\sqrt{v^2+u^2-\frac{v^2u^2}{c^2}}}.
\boxed{v_b=\sqrt{v^2+u^2-\frac{v^2u^2}{c^2}}}.
\]
\]
В ответах сборника эти две пары формул напечатаны под переставленными обозначениями пунктов а) и б). Приведённый здесь ответ соответствует направлениям движения, указанным в условии.
В ответах сборника эти две пары формул напечатаны под переставленными обозначениями пунктов а) и б). Приведённый здесь ответ соответствует направлениям движения, указанным в условии.
