Edit to “Решение”
ru/6.6.14.md
+2 −0
| ### Условие | |||
| $6.6.14.$ На обкладках плоского конденсатора размещены заряды $\pm q$. Зазор между обкладками заполнен веществом, диэлектрическая проницаемость которого изменяется в перпендикулярном к обкладкам направлении по закону $\varepsilon = \varepsilon_0(1 + x/d)^{-1}$, где $x$ — расстояние до положительной пластины, $d$ — расстояние между пластинами. Найдите объемную плотность заряда как функцию $x$. Площадь пластин $S$. | |||
| @@ -4,6 +4,8 @@Условие | |||
| ### Решение | |||
| + |  | ||
| + | |||
| <b>1.</b> Вектор электрической индукции (смещения) $\vec{D}$ внутри диэлектрика определяется только свободными зарядами на металлических пластинах конденсатора. Поскольку свободного объемного заряда в самом диэлектрике нет ($\nabla \cdot \vec{D} = 0$), поле индукции $\vec{D}$ однородно во всем объеме и направлено от положительной обкладки к отрицательной (вдоль оси $x$). Его модуль равен поверхностной плотности свободного заряда: | |||
| $$D = \frac{q}{S}$$ | |||
| <b>2.</b> Напряженность электрического поля $\vec{E}$ связана с вектором индукции соотношением $\vec{D} = \varepsilon_{v} \varepsilon(x) \vec{E}$ (в системе СИ, где $\varepsilon_{v}$ — электрическая постоянная вакуума, а $\varepsilon(x)$ — относительная диэлектрическая проницаемость вещества). Выразим напряженность поля $E(x)$: | |||
| $$E(x) = \frac{D}{\varepsilon_{v} \varepsilon(x)} = \frac{q}{S \varepsilon_{v} \varepsilon_0 (1 + x/d)^{-1}} = \frac{q}{S \varepsilon_{v} \varepsilon_0} \left(1 + \frac{x}{d}\right)$$ | |||
| <b>3.</b> Объемная плотность всех зарядов в диэлектрике (которая состоит только из искомых поляризационных/связанных зарядов $\rho'$) связана с полем $\vec{E}$ локальной теоремой Гаусса: $\nabla \cdot \vec{E} = \rho' / \varepsilon_{v}$. | |||
| Поскольку поле зависит только от координаты $x$, дивергенция сводится к обычной производной: | |||
| $$\rho' = \varepsilon_{v} \frac{d E(x)}{dx}$$ | |||
| <b>4.</b> Подставим функцию $E(x)$ в производную: | |||
| $$\rho' = \varepsilon_{v} \frac{d}{dx} \left[ \frac{q}{S \varepsilon_{v} \varepsilon_0} \left(1 + \frac{x}{d}\right) \right] = \varepsilon_{v} \frac{q}{S \varepsilon_{v} \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{d} = \frac{q}{S d \varepsilon_0}$$ | |||
| <i>Примечание:</i> Диэлектрическая проницаемость убывает с расстоянием, поэтому поляризация ослабевает и в объеме скапливается положительный связанный заряд. Знак «минус» в официальном ответе задачника является математической ошибкой (потерян минус в соотношении $\rho' = -\nabla \cdot \vec{P}$). Также в некоторых изданиях в ответах параметр $\varepsilon_0$ ошибочно напечатан как $\varepsilon_1$. | |||
| #### Ответ | |||
| $$\rho' = \frac{q}{S d \varepsilon_0}$$ | |||
| unchanged lines 14 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $6.6.14.$ На обкладках плоского конденсатора размещены заряды $\pm q$. Зазор между обкладками заполнен веществом, диэлектрическая проницаемость которого изменяется в перпендикулярном к обкладкам направлении по закону $\varepsilon = \varepsilon_0(1 + x/d)^{-1}$, где $x$ — расстояние до положительной пластины, $d$ — расстояние между пластинами. Найдите объемную плотность заряда как функцию $x$. Площадь пластин $S$. | $6.6.14.$ На обкладках плоского конденсатора размещены заряды $\pm q$. Зазор между обкладками заполнен веществом, диэлектрическая проницаемость которого изменяется в перпендикулярном к обкладкам направлении по закону $\varepsilon = \varepsilon_0(1 + x/d)^{-1}$, где $x$ — расстояние до положительной пластины, $d$ — расстояние между пластинами. Найдите объемную плотность заряда как функцию $x$. Площадь пластин $S$. | ||
| @@ -4,6 +4,8 @@Условие | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
|  | |||
| <b>1.</b> Вектор электрической индукции (смещения) $\vec{D}$ внутри диэлектрика определяется только свободными зарядами на металлических пластинах конденсатора. Поскольку свободного объемного заряда в самом диэлектрике нет ($\nabla \cdot \vec{D} = 0$), поле индукции $\vec{D}$ однородно во всем объеме и направлено от положительной обкладки к отрицательной (вдоль оси $x$). Его модуль равен поверхностной плотности свободного заряда: | <b>1.</b> Вектор электрической индукции (смещения) $\vec{D}$ внутри диэлектрика определяется только свободными зарядами на металлических пластинах конденсатора. Поскольку свободного объемного заряда в самом диэлектрике нет ($\nabla \cdot \vec{D} = 0$), поле индукции $\vec{D}$ однородно во всем объеме и направлено от положительной обкладки к отрицательной (вдоль оси $x$). Его модуль равен поверхностной плотности свободного заряда: | ||
| $$D = \frac{q}{S}$$ | $$D = \frac{q}{S}$$ | ||
| <b>2.</b> Напряженность электрического поля $\vec{E}$ связана с вектором индукции соотношением $\vec{D} = \varepsilon_{v} \varepsilon(x) \vec{E}$ (в системе СИ, где $\varepsilon_{v}$ — электрическая постоянная вакуума, а $\varepsilon(x)$ — относительная диэлектрическая проницаемость вещества). Выразим напряженность поля $E(x)$: | <b>2.</b> Напряженность электрического поля $\vec{E}$ связана с вектором индукции соотношением $\vec{D} = \varepsilon_{v} \varepsilon(x) \vec{E}$ (в системе СИ, где $\varepsilon_{v}$ — электрическая постоянная вакуума, а $\varepsilon(x)$ — относительная диэлектрическая проницаемость вещества). Выразим напряженность поля $E(x)$: | ||
| $$E(x) = \frac{D}{\varepsilon_{v} \varepsilon(x)} = \frac{q}{S \varepsilon_{v} \varepsilon_0 (1 + x/d)^{-1}} = \frac{q}{S \varepsilon_{v} \varepsilon_0} \left(1 + \frac{x}{d}\right)$$ | $$E(x) = \frac{D}{\varepsilon_{v} \varepsilon(x)} = \frac{q}{S \varepsilon_{v} \varepsilon_0 (1 + x/d)^{-1}} = \frac{q}{S \varepsilon_{v} \varepsilon_0} \left(1 + \frac{x}{d}\right)$$ | ||
| <b>3.</b> Объемная плотность всех зарядов в диэлектрике (которая состоит только из искомых поляризационных/связанных зарядов $\rho'$) связана с полем $\vec{E}$ локальной теоремой Гаусса: $\nabla \cdot \vec{E} = \rho' / \varepsilon_{v}$. | <b>3.</b> Объемная плотность всех зарядов в диэлектрике (которая состоит только из искомых поляризационных/связанных зарядов $\rho'$) связана с полем $\vec{E}$ локальной теоремой Гаусса: $\nabla \cdot \vec{E} = \rho' / \varepsilon_{v}$. | ||
| Поскольку поле зависит только от координаты $x$, дивергенция сводится к обычной производной: | Поскольку поле зависит только от координаты $x$, дивергенция сводится к обычной производной: | ||
| $$\rho' = \varepsilon_{v} \frac{d E(x)}{dx}$$ | $$\rho' = \varepsilon_{v} \frac{d E(x)}{dx}$$ | ||
| <b>4.</b> Подставим функцию $E(x)$ в производную: | <b>4.</b> Подставим функцию $E(x)$ в производную: | ||
| $$\rho' = \varepsilon_{v} \frac{d}{dx} \left[ \frac{q}{S \varepsilon_{v} \varepsilon_0} \left(1 + \frac{x}{d}\right) \right] = \varepsilon_{v} \frac{q}{S \varepsilon_{v} \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{d} = \frac{q}{S d \varepsilon_0}$$ | $$\rho' = \varepsilon_{v} \frac{d}{dx} \left[ \frac{q}{S \varepsilon_{v} \varepsilon_0} \left(1 + \frac{x}{d}\right) \right] = \varepsilon_{v} \frac{q}{S \varepsilon_{v} \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{d} = \frac{q}{S d \varepsilon_0}$$ | ||
| <i>Примечание:</i> Диэлектрическая проницаемость убывает с расстоянием, поэтому поляризация ослабевает и в объеме скапливается положительный связанный заряд. Знак «минус» в официальном ответе задачника является математической ошибкой (потерян минус в соотношении $\rho' = -\nabla \cdot \vec{P}$). Также в некоторых изданиях в ответах параметр $\varepsilon_0$ ошибочно напечатан как $\varepsilon_1$. | <i>Примечание:</i> Диэлектрическая проницаемость убывает с расстоянием, поэтому поляризация ослабевает и в объеме скапливается положительный связанный заряд. Знак «минус» в официальном ответе задачника является математической ошибкой (потерян минус в соотношении $\rho' = -\nabla \cdot \vec{P}$). Также в некоторых изданиях в ответах параметр $\varepsilon_0$ ошибочно напечатан как $\varepsilon_1$. | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$\rho' = \frac{q}{S d \varepsilon_0}$$ | $$\rho' = \frac{q}{S d \varepsilon_0}$$ | ||
| unchanged lines 14 | |||