Решение

1. Вектор электрической индукции (смещения) $\vec{D}$ внутри диэлектрика определяется только свободными зарядами на металлических пластинах конденсатора. Поскольку свободного объемного заряда в самом диэлектрике нет ($\nabla \cdot \vec{D} = 0$), поле индукции $\vec{D}$ однородно во всем объеме и направлено от положительной обкладки к отрицательной (вдоль оси $x$). Его модуль равен поверхностной плотности свободного заряда:
$$D = \frac{q}{S}$$

2. Напряженность электрического поля $\vec{E}$ связана с вектором индукции соотношением $\vec{D} = \varepsilon_{v} \varepsilon(x) \vec{E}$ (в системе СИ, где $\varepsilon_{v}$ — электрическая постоянная вакуума, а $\varepsilon(x)$ — относительная диэлектрическая проницаемость вещества). Выразим напряженность поля $E(x)$:
$$E(x) = \frac{D}{\varepsilon_{v} \varepsilon(x)} = \frac{q}{S \varepsilon_{v} \varepsilon_0 (1 + x/d)^{-1}} = \frac{q}{S \varepsilon_{v} \varepsilon_0} \left(1 + \frac{x}{d}\right)$$

3. Объемная плотность всех зарядов в диэлектрике (которая состоит только из искомых поляризационных/связанных зарядов $\rho'$) связана с полем $\vec{E}$ локальной теоремой Гаусса: $\nabla \cdot \vec{E} = \rho' / \varepsilon_{v}$.
Поскольку поле зависит только от координаты $x$, дивергенция сводится к обычной производной:
$$\rho' = \varepsilon_{v} \frac{d E(x)}{dx}$$

4. Подставим функцию $E(x)$ в производную:
$$\rho' = \varepsilon_{v} \frac{d}{dx} \left[ \frac{q}{S \varepsilon_{v} \varepsilon_0} \left(1 + \frac{x}{d}\right) \right] = \varepsilon_{v} \frac{q}{S \varepsilon_{v} \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{d} = \frac{q}{S d \varepsilon_0}$$

Примечание: Диэлектрическая проницаемость убывает с расстоянием, поэтому поляризация ослабевает и в объеме скапливается положительный связанный заряд. Знак «минус» в официальном ответе задачника является математической ошибкой (потерян минус в соотношении $\rho' = -\nabla \cdot \vec{P}$). Также в некоторых изданиях в ответах параметр $\varepsilon_0$ ошибочно напечатан как $\varepsilon_1$.