New solution

Valter edited
View solution History
revision #20656 newer →
ru/3.4.19.md +54 −0
@@ -0,0 +1,54 @@
+### Условие
+
+$3.4.19.$ [Вставьте условие задачи]
+
+### Решение
+
+### Условие
+
+$3.4.19.$ На рисунке изображен график зависимости координаты от времени для движения, являющегося суммой двух гармонических колебаний. Определите по нему амплитуды и частоты этих колебаний.
+
+### Решение
+
+<b>1. Анализ огибающей и определение амплитуд</b>
+Данный график иллюстрирует классическое явление биений, возникающее при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами ($\omega_1\approx\omega_2$). Общее уравнение движения можно записать как:
+$$x(t)=a_1\sin(\omega_1t)+a_2\sin(\omega_2t)$$
+
+Исследуя график, мы можем выделить максимальную и минимальную амплитуды огибающей:
+— <b>Максимум огибающей ($A$):</b> Возникает при конструктивной интерференции (колебания в фазе):
+$$A_{\max}=a_1+a_2=A$$
+— <b>Минимум огибающей (узкое «горлышко» $B$):</b> Возникает при деструктивной интерференции (колебания в противофазе):
+$$A_{\min}=|a_1-a_2|=B$$
+
+Решая эту простую алгебраическую систему, найдем амплитуды исходных колебаний $a_1$ и $a_2$ (полагая $a_1>a_2$):
+$$a_1=\frac{A+B}{2}, \quad a_2=\frac{A-B}{2}$$
+
+<b>2. Анализ периодов и определение частот</b>
+Из графика мы можем определить два временных интервала:
+— <b>Период быстрых колебаний ($\tau$):</b> Это время одного полного цикла внутреннего высокочастотного колебания (несущей частоты). Оно связано со средней частотой двух складываемых колебаний:
+$$\tau=\frac{2\pi}{\omega_{\text{avg}}}=\frac{4\pi}{\omega_1+\omega_2}$$
+
+— <b>Период биений ($T$):</b> Это интервал времени между двумя последовательными узлами (или пучностями) огибающей. Он определяется разностью частот:
+$$T=\frac{2\pi}{\omega_{\text{beat}}}=\frac{2\pi}{|\omega_1-\omega_2|}$$
+
+<b>3. Изоляция $\omega_1$ и $\omega_2$</b>
+Из полученных периодов мы можем составить систему для суммы и разности частот:
+$$\omega_1+\omega_2=\frac{4\pi}{\tau}$$
+$$\omega_1-\omega_2=\frac{2\pi}{T}$$
+
+Сложив уравнения и разделив на 2, получим $\omega_1$:
+$$2\omega_1=\frac{4\pi}{\tau}+\frac{2\pi}{T} \implies \omega_1=\pi\left(\frac{2}{\tau}+\frac{1}{T}\right)$$
+
+Вычтя второе уравнение из первого, найдем $\omega_2$:
+$$2\omega_2=\frac{4\pi}{\tau}-\frac{2\pi}{T} \implies \omega_2=\pi\left(\frac{2}{\tau}-\frac{1}{T}\right)$$
+
+Если требуются циклические (линейные) частоты $f=\frac{\omega}{2\pi}$, то формулы принимают вид:
+$$f_1=\frac{1}{\tau}+\frac{1}{2T}, \quad f_2=\frac{1}{\tau}-\frac{1}{2T}$$
+
+#### Ответ
+$$a_1=\frac{A+B}{2}, \quad a_2=\frac{A-B}{2}$$
+$$\omega_1=\pi\left(\frac{2}{\tau}+\frac{1}{T}\right), \quad \omega_2=\pi\left(\frac{2}{\tau}-\frac{1}{T}\right)$$
+
+#### Ответ
+
+[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]