| <b>1. Анализ огибающей и определение амплитуд</b>\ | | <b>1. Анализ огибающей и определение амплитуд</b>\ |
| Данный график иллюстрирует классическое явление биений, возникающее при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами ($\omega_1\approx\omega_2$). Общее уравнение движения можно записать как: | | Данный график иллюстрирует классическое явление биений, возникающее при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами ($\omega_1\approx\omega_2$). Общее уравнение движения можно записать как: |
| $$x(t)=a_1\sin(\omega_1t)+a_2\sin(\omega_2t)$$ | | $$x(t)=a_1\sin(\omega_1t)+a_2\sin(\omega_2t)$$ |
| | | |
| Исследуя график, мы можем выделить максимальную и минимальную амплитуды огибающей: | | Исследуя график, мы можем выделить максимальную и минимальную амплитуды огибающей: |
| — <b>Максимум огибающей ($A$):</b> Возникает при конструктивной интерференции (колебания в фазе): | | — <b>Максимум огибающей ($A$):</b> Возникает при конструктивной интерференции (колебания в фазе): |
| $$A_{\max}=a_1+a_2=A$$ | | $$A_{\max}=a_1+a_2=A$$ |
| — <b>Минимум огибающей (узкое «горлышко» $B$):</b> Возникает при деструктивной интерференции (колебания в противофазе): | | — <b>Минимум огибающей (узкое «горлышко» $B$):</b> Возникает при деструктивной интерференции (колебания в противофазе): |
| $$A_{\min}=|a_1-a_2|=B$$ | | $$A_{\min}=|a_1-a_2|=B$$ |
| | | |
| Решая эту простую алгебраическую систему, найдем амплитуды исходных колебаний $a_1$ и $a_2$ (полагая $a_1>a_2$): | | Решая эту простую алгебраическую систему, найдем амплитуды исходных колебаний $a_1$ и $a_2$ (полагая $a_1>a_2$): |
| $$a_1=\frac{A+B}{2}, \quad a_2=\frac{A-B}{2}$$ | | $$a_1=\frac{A+B}{2}, \quad a_2=\frac{A-B}{2}$$ |
| | | |
| <b>2. Анализ периодов и определение частот</b>\ | | <b>2. Анализ периодов и определение частот</b>\ |
| Из графика мы можем определить два временных интервала: | | Из графика мы можем определить два временных интервала: |
| — <b>Период быстрых колебаний ($\tau$):</b> Это время одного полного цикла внутреннего высокочастотного колебания (несущей частоты). Оно связано со средней частотой двух складываемых колебаний: | | — <b>Период быстрых колебаний ($\tau$):</b> Это время одного полного цикла внутреннего высокочастотного колебания (несущей частоты). Оно связано со средней частотой двух складываемых колебаний: |
| $$\tau=\frac{2\pi}{\omega_{\text{avg}}}=\frac{4\pi}{\omega_1+\omega_2}$$ | | $$\tau=\frac{2\pi}{\omega_{\text{avg}}}=\frac{4\pi}{\omega_1+\omega_2}$$ |
| | | |
| — <b>Период биений ($T$):</b> Это интервал времени между двумя последовательными узлами (или пучностями) огибающей. Он определяется разностью частот: | | — <b>Период биений ($T$):</b> Это интервал времени между двумя последовательными узлами (или пучностями) огибающей. Он определяется разностью частот: |
| $$T=\frac{2\pi}{\omega_{\text{beat}}}=\frac{2\pi}{|\omega_1-\omega_2|}$$ | | $$T=\frac{2\pi}{\omega_{\text{beat}}}=\frac{2\pi}{|\omega_1-\omega_2|}$$ |
| | | |
| <b>3. Изоляция $\omega_1$ и $\omega_2$</b>\ | | <b>3. Изоляция $\omega_1$ и $\omega_2$</b>\ |
| Из полученных периодов мы можем составить систему для суммы и разности частот: | | Из полученных периодов мы можем составить систему для суммы и разности частот: |
| $$\omega_1+\omega_2=\frac{4\pi}{\tau}$$ | | $$\omega_1+\omega_2=\frac{4\pi}{\tau}$$ |
| $$\omega_1-\omega_2=\frac{2\pi}{T}$$ | | $$\omega_1-\omega_2=\frac{2\pi}{T}$$ |
| | | |
| Сложив уравнения и разделив на 2, получим $\omega_1$: | | Сложив уравнения и разделив на 2, получим $\omega_1$: |
| $$2\omega_1=\frac{4\pi}{\tau}+\frac{2\pi}{T} \implies \omega_1=\pi\left(\frac{2}{\tau}+\frac{1}{T}\right)$$ | | $$2\omega_1=\frac{4\pi}{\tau}+\frac{2\pi}{T} \implies \omega_1=\pi\left(\frac{2}{\tau}+\frac{1}{T}\right)$$ |
| | | |
| Вычтя второе уравнение из первого, найдем $\omega_2$: | | Вычтя второе уравнение из первого, найдем $\omega_2$: |
| $$2\omega_2=\frac{4\pi}{\tau}-\frac{2\pi}{T} \implies \omega_2=\pi\left(\frac{2}{\tau}-\frac{1}{T}\right)$$ | | $$2\omega_2=\frac{4\pi}{\tau}-\frac{2\pi}{T} \implies \omega_2=\pi\left(\frac{2}{\tau}-\frac{1}{T}\right)$$ |
| | | |
| Если требуются циклические (линейные) частоты $f=\frac{\omega}{2\pi}$, то формулы принимают вид: | | Если требуются циклические (линейные) частоты $f=\frac{\omega}{2\pi}$, то формулы принимают вид: |
| $$f_1=\frac{1}{\tau}+\frac{1}{2T}, \quad f_2=\frac{1}{\tau}-\frac{1}{2T}$$ | | $$f_1=\frac{1}{\tau}+\frac{1}{2T}, \quad f_2=\frac{1}{\tau}-\frac{1}{2T}$$ |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| $$a_1=\frac{A+B}{2}, \quad a_2=\frac{A-B}{2}$$ | | $$a_1=\frac{A+B}{2}, \quad a_2=\frac{A-B}{2}$$ |
| $$\omega_1=\pi\left(\frac{2}{\tau}+\frac{1}{T}\right), \quad \omega_2=\pi\left(\frac{2}{\tau}-\frac{1}{T}\right)$$ | | $$\omega_1=\pi\left(\frac{2}{\tau}+\frac{1}{T}\right), \quad \omega_2=\pi\left(\frac{2}{\tau}-\frac{1}{T}\right)$$ |
