Решение

\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}

\begin{document}

Совпадение или противоположность направлений смещения $x(t)$ и вынуждающей силы $F(t)$ определяется \textbf{разностью фаз $\varphi$} между ними.

Уравнение установившихся вынужденных колебаний осциллятора под действием гармонической силы $F(t) = F_0 \cos(\omega t)$ имеет вид:
$$x(t) = A \cos(\omega t - \varphi)$$

Амплитуда $A$ и фазовый сдвиг $\varphi$ задаются соотношениями:
\begin{align*} A &= \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2}} \[6pt] \operatorname{tg}\varphi &= \frac{2\gamma\omega}{\omega_0^2 - \omega^2} \end{align*}

где $\omega_0$ — собственная частота, $\omega$ — частота вынуждающей силы, $\gamma$ — коэффициент затухания.

---

\subsection*{1. Низкие частоты ($\omega < \omega_0$)}

При низких частотах и малом затухании:
\begin{itemize}
\item Знаменатель в формуле тангенса положителен: $\omega_0^2 - \omega^2 > 0 \implies \operatorname{tg}\varphi > 0$.
\item Фазовый сдвиг находится в пределе $0 \le \varphi < \pi/2$.
\item В пределе медленного изменения силы ($\omega \ll \omega_0$) сдвиг фаз $\varphi \to 0$.
\end{itemize

\textbf{Физический смысл:} Система успевает подстраиваться под медленно меняющуюся силу. Основную роль играет \textbf{упругая сила} (квазиупругая сила осциллятора $k x$), которая компенсирует внешнюю силу в любой момент времени:
$$F(t) \approx k x(t) \implies x(t) \approx \frac{F(t)}{k}$$

Так как жесткость $k > 0$, вектор смещения $x(t)$ направлен в ту же сторону, что и сила $F(t)$.

---

\subsection*{2. Высокие частоты ($\omega > \omega_0$)}

При высоких частотах:
\begin{itemize}
\item Знаменатель в формуле тангенса отрицателен: $\omega_0^2 - \omega^2 < 0 \implies \operatorname{tg}\varphi < 0$.
\item Сдвиг фаз лежит в интервале $\pi/2 < \varphi \le \pi$.
\item В пределе быстро меняющейся силы ($\omega \gg \omega_0$) сдвиг фаз $\varphi \to \pi$.
\end{itemize

\textbf{Физический смысл:} При высоких частотах определяющую роль начинает играть \textbf{инерция тела} (масса $m$). Из второго закона Ньютона при $\omega \gg \omega_0$ упругой силой и трением можно пренебречь по сравнению с ускорением:
\begin{align*} m a(t) \approx F(t) &\implies -m \omega^2 x(t) \approx F(t) \[6pt] &\implies x(t) \approx -\frac{F(t)}{m\omega^2} \end{align*}

Из-за инерции ускорение $a(t) = -\omega^2 x(t)$ оказывается сонаправлено с силой $F(t)$, а значит, само смещение $x(t)$ оказывается направлено \textbf{противоположно} внешней силе (соответствует сдвигу фаз $\varphi = \pi$).

\end{document}