Edit

albert edited
View solution History
revision #20736 parent #20735 ← older newer →
ru/3.5.30.md +16 −36
@@ -1,18 +1,10 @@
−### Условие
+Условие:
+Почему при вынужденных колебаниях осциллятора с частотой, меньшей его собственной частоты, направления смещения и вынуждающей силы совпадают, а при частоте, большей собственной, противоположны?
−$3.5.30.$ [Вставьте условие задачи]
+Решение:
−### Решение
+Совпадение или противоположность направлений смещения $x(t)$ и вынуждающей силы $F(t)$ определяется разностью фаз $\varphi$ между ними.
−\documentclass{article}
−\usepackage[utf8]{inputenc}
−\usepackage[russian]{babel}
−\usepackage{amsmath, amssymb}
−
−\begin{document}
−
−Совпадение или противоположность направлений смещения $x(t)$ и вынуждающей силы $F(t)$ определяется \textbf{разностью фаз $\varphi$} между ними.
−
Уравнение установившихся вынужденных колебаний осциллятора под действием гармонической силы $F(t) = F_0 \cos(\omega t)$ имеет вид:
\[
x(t) = A \cos(\omega t - \varphi)
@@ -23,48 +15,36 @@
A &= \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2}} \\[6pt]
\operatorname{tg}\varphi &= \frac{2\gamma\omega}{\omega_0^2 - \omega^2}
\end{align*}
−
где $\omega_0$ — собственная частота, $\omega$ — частота вынуждающей силы, $\gamma$ — коэффициент затухания.
−\---
−\subsection*{1. Низкие частоты ($\omega < \omega_0$)}
При низких частотах и малом затухании:
−\begin{itemize}
− \item Знаменатель в формуле тангенса положителен: $\omega_0^2 - \omega^2 > 0 \implies \operatorname{tg}\varphi > 0$.
− \item Фазовый сдвиг находится в пределе $0 \le \varphi < \pi/2$.
− \item В пределе медленного изменения силы ($\omega \ll \omega_0$) сдвиг фаз $\varphi \to 0$.
−\end{itemize
+Знаменатель в формуле тангенса положителен: $\omega_0^2 - \omega^2 > 0 \implies \operatorname{tg}\varphi > 0$.
+Фазовый сдвиг находится в пределе $0 \le \varphi < \pi/2$.
+В пределе медленного изменения силы ($\omega \ll \omega_0$) сдвиг фаз $\varphi \to 0$.
−\textbf{Физический смысл:} Система успевает подстраиваться под медленно меняющуюся силу. Основную роль играет \textbf{упругая сила} (квазиупругая сила осциллятора $k x$), которая компенсирует внешнюю силу в любой момент времени:
+Система успевает подстраиваться под медленно меняющуюся силу. Основную роль играет упругая сила (квазиупругая сила осциллятора $k x$), которая компенсирует внешнюю силу в любой момент времени:
\[
F(t) \approx k x(t) \implies x(t) \approx \frac{F(t)}{k}
\]
−
Так как жесткость $k > 0$, вектор смещения $x(t)$ направлен в ту же сторону, что и сила $F(t)$.
−\---
+Высокие частоты ($\omega > \omega_0$):
−\subsection*{2. Высокие частоты ($\omega > \omega_0$)}
−
При высоких частотах:
−\begin{itemize}
− \item Знаменатель в формуле тангенса отрицателен: $\omega_0^2 - \omega^2 < 0 \implies \operatorname{tg}\varphi < 0$.
− \item Сдвиг фаз лежит в интервале $\pi/2 < \varphi \le \pi$.
− \item В пределе быстро меняющейся силы ($\omega \gg \omega_0$) сдвиг фаз $\varphi \to \pi$.
−\end{itemize
+Знаменатель в формуле тангенса отрицателен: $\omega_0^2 - \omega^2 < 0 \implies \operatorname{tg}\varphi < 0$.
+Сдвиг фаз лежит в интервале $\pi/2 < \varphi \le \pi$.
+В пределе быстро меняющейся силы ($\omega \gg \omega_0$) сдвиг фаз $\varphi \to \pi$.
−\textbf{Физический смысл:} При высоких частотах определяющую роль начинает играть \textbf{инерция тела} (масса $m$). Из второго закона Ньютона при $\omega \gg \omega_0$ упругой силой и трением можно пренебречь по сравнению с ускорением:
+При высоких частотах определяющую роль начинает играть инерция тела (масса $m$). Из второго закона Ньютона при $\omega \gg \omega_0$ упругой силой и трением можно пренебречь по сравнению с ускорением:
\begin{align*}
−m a(t) \approx F(t) &\implies -m \omega^2 x(t) \approx F(t) \\[6pt]
+m a(t) \approx F(t) &\implies -m \omega^2 x(t) \approx F(t)
&\implies x(t) \approx -\frac{F(t)}{m\omega^2}
\end{align*}
−Из-за инерции ускорение $a(t) = -\omega^2 x(t)$ оказывается сонаправлено с силой $F(t)$, а значит, само смещение $x(t)$ оказывается направлено \textbf{противоположно} внешней силе (соответствует сдвигу фаз $\varphi = \pi$).
+Из-за инерции ускорение $a(t) = -\omega^2 x(t)$ оказывается сонаправлено с силой $F(t)$, а значит, само смещение $x(t)$ оказывается направлено противоположно внешней силе (соответствует сдвигу фаз $\varphi = \pi$).
−\end{document}
−#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+При $\omega < \omega_0$ преобладает квазиупругая сила, смещение совпадает по фазе с силой ($\varphi \to 0$). При $\omega > \omega_0$ определяющей является инерция массы, смещение и сила противофазны ($\varphi \to \pi$).