Условие

Почему при вынужденных колебаниях осциллятора с частотой, меньшей его собственной частоты, направления смещения и вынуждающей силы совпадают, а при частоте, большей собственной, противоположны?

Решение

Совпадение или противоположность направлений смещения $x(t)$ и вынуждающей силы $F(t)$ определяется разностью фаз $\varphi$ между ними.

Уравнение установившихся вынужденных колебаний осциллятора под действием гармонической силы

$$F(t)=F_0\cos(\omega t)$$

имеет вид

$$x(t)=A\cos(\omega t-\varphi).$$

Амплитуда $A$ и фазовый сдвиг $\varphi$ задаются соотношениями

$$A= \frac{F_0/m} {\sqrt{\left(\omega_0^2-\omega^2\right)^2+4\gamma^2\omega^2}},$$ $$\tan\varphi= \frac{2\gamma\omega} {\omega_0^2-\omega^2},$$

где $\omega_0$ — собственная частота, $\omega$ — частота вынуждающей силы, $\gamma$ — коэффициент затухания.

1. Низкие частоты $\left(\omega<\omega_0\right)$

При низких частотах и малом затухании знаменатель в формуле для тангенса положителен:

$$\omega_0^2-\omega^2>0 \quad\Longrightarrow\quad \tan\varphi>0.$$

Поэтому фазовый сдвиг находится в пределах

$$0\leq\varphi<\frac{\pi}{2}.$$

В пределе медленного изменения силы

$$\omega\ll\omega_0 \quad\Longrightarrow\quad \varphi\to0.$$

Физический смысл: система успевает подстраиваться под медленно меняющуюся силу. Основную роль играет упругая сила — квазиупругая сила осциллятора $kx$, которая компенсирует внешнюю силу в любой момент времени:

$$F(t)\approx kx(t).$$

Отсюда

$$x(t)\approx\frac{F(t)}{k}.$$

Так как

$$k>0,$$

вектор смещения $x(t)$ направлен в ту же сторону, что и сила $F(t)$.

2. Высокие частоты $\left(\omega>\omega_0\right)$

При высоких частотах

$$\omega_0^2-\omega^2<0 \quad\Longrightarrow\quad \tan\varphi<0.$$

Фазовый сдвиг лежит в интервале

$$\frac{\pi}{2}<\varphi\leq\pi.$$

В пределе быстро меняющейся силы

$$\omega\gg\omega_0 \quad\Longrightarrow\quad \varphi\to\pi.$$

Физический смысл: при высоких частотах определяющую роль начинает играть инерция тела. Из второго закона Ньютона при

$$\omega\gg\omega_0$$

упругой силой и силой трения можно пренебречь по сравнению с инерционной составляющей:

$$ma(t)\approx F(t).$$

Так как

$$a(t)=-\omega^2x(t),$$

получаем

$$-m\omega^2x(t)\approx F(t).$$

Следовательно,

$$x(t)\approx-\frac{F(t)}{m\omega^2}.$$

Минус показывает, что смещение $x(t)$ направлено противоположно внешней силе $F(t)$, что соответствует сдвигу фаз

$$\varphi=\pi.$$
Ответ

При

$$\omega<\omega_0$$

преобладает действие упругой силы, поэтому смещение и вынуждающая сила направлены в одну сторону:

$$\varphi\to0.$$

При

$$\omega>\omega_0$$

определяющей становится инерция массы, поэтому смещение и вынуждающая сила направлены в противоположные стороны:

$$\varphi\to\pi.$$