Edit

albert edited
View solution History
revision #20740 parent #20739 ← older
ru/3.5.30.md +89 −36
@@ -1,51 +1,104 @@
−Условие:
+Условие
Почему при вынужденных колебаниях осциллятора с частотой, меньшей его собственной частоты, направления смещения и вынуждающей силы совпадают, а при частоте, большей собственной, противоположны?
−Решение:
+Решение
−Совпадение или противоположность направлений смещения $x(t)$ и вынуждающей силы $F(t)$ определяется разностью фаз $\varphi$ между ними.
+Совпадение или противоположность направлений смещения \(x(t)\) и вынуждающей силы \(F(t)\) определяется разностью фаз \(\varphi\) между ними.
−Уравнение установившихся вынужденных колебаний осциллятора под действием гармонической силы $F(t) = F_0 \cos(\omega t)$ имеет вид:
−\[
−x(t) = A \cos(\omega t - \varphi)
−\]
+Уравнение установившихся вынужденных колебаний осциллятора под действием гармонической силы
−Амплитуда $A$ и фазовый сдвиг $\varphi$ задаются соотношениями:
−\begin{align*}
−A &= \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2}} \\
−\operatorname{tg}\varphi &= \frac{2\gamma\omega}{\omega_0^2 - \omega^2}
−\end{align*}
−где $\omega_0$ — собственная частота, $\omega$ — частота вынуждающей силы, $\gamma$ — коэффициент затухания.
+$$ F(t)=F_0\cos(\omega t) $$
−1. Низкие частоты ($\omega < \omega_0$)
+имеет вид
−При низких частотах и малом затухании:
−Знаменатель в формуле тангенса положителен: $\omega_0^2 - \omega^2 > 0 \implies \operatorname{tg}\varphi > 0$.
−Фазовый сдвиг находится в пределе $0 \le \varphi < \pi/2$.
−В пределе медленного изменения силы ($\omega \ll \omega_0$) сдвиг фаз $\varphi \to 0$.
+$$ x(t)=A\cos(\omega t-\varphi). $$
−Физический смысл: Система успевает подстраиваться под медленно меняющуюся силу. Основную роль играет упругая сила (квазиупругая сила осциллятора $k x$), которая компенсирует внешнюю силу в любой момент времени:
−\[
−F(t) \approx k x(t) \implies x(t) \approx \frac{F(t)}{k}
−\]
−Так как жесткость $k > 0$, вектор смещения $x(t)$ направлен в ту же сторону, что и сила $F(t)$.
+Амплитуда \(A\) и фазовый сдвиг \(\varphi\) задаются соотношениями
−2. Высокие частоты ($\omega > \omega_0$)
+$$ A= \frac{F_0/m} {\sqrt{\left(\omega_0^2-\omega^2\right)^2+4\gamma^2\omega^2}}, $$ $$ \tan\varphi= \frac{2\gamma\omega} {\omega_0^2-\omega^2}, $$
−При высоких частотах:
−Знаменатель в формуле тангенса отрицателен: $\omega_0^2 - \omega^2 < 0 \implies \operatorname{tg}\varphi < 0$.
−Сдвиг фаз лежит в интервале $\pi/2 < \varphi \le \pi$.
−В пределе быстро меняющейся силы ($\omega \gg \omega_0$) сдвиг фаз $\varphi \to \pi$.
+где \(\omega_0\) — собственная частота, \(\omega\) — частота вынуждающей силы, \(\gamma\) — коэффициент затухания.
−Физический смысл: При высоких частотах определяющую роль начинает играть инерция тела (масса $m$). Из второго закона Ньютона при $\omega \gg \omega_0$ упругой силой и трением можно пренебречь по сравнению с ускорением:
−\begin{align*}
−m a(t) \approx F(t) &\implies -m \omega^2 x(t) \approx F(t) \\
−&\implies x(t) \approx -\frac{F(t)}{m\omega^2}
−\end{align*}
+1. Низкие частоты \(\left(\omega<\omega_0\right)\)
−Из-за инерции ускорение $a(t) = -\omega^2 x(t)$ оказывается сонаправлено с силой $F(t)$, а значит, само смещение $x(t)$ оказывается направлено противоположно внешней силе (соответствует сдвигу фаз $\varphi = \pi$).
+При низких частотах и малом затухании знаменатель в формуле для тангенса положителен:
−Ответ:
+$$ \omega_0^2-\omega^2>0 \quad\Longrightarrow\quad \tan\varphi>0. $$
−При $\omega < \omega_0$ преобладает квазиупругая сила, смещение совпадает по фазе с силой ($\varphi \to 0$). При $\omega > \omega_0$ определяющей является инерция массы, смещение и сила противофазны ($\varphi \to \pi$).
+Поэтому фазовый сдвиг находится в пределах
+
+$$ 0\leq\varphi<\frac{\pi}{2}. $$
+
+В пределе медленного изменения силы
+
+$$ \omega\ll\omega_0 \quad\Longrightarrow\quad \varphi\to0. $$
+
+Физический смысл: система успевает подстраиваться под медленно меняющуюся силу. Основную роль играет упругая сила — квазиупругая сила осциллятора \(kx\), которая компенсирует внешнюю силу в любой момент времени:
+
+$$ F(t)\approx kx(t). $$
+
+Отсюда
+
+$$ x(t)\approx\frac{F(t)}{k}. $$
+
+Так как
+
+$$ k>0, $$
+
+вектор смещения \(x(t)\) направлен в ту же сторону, что и сила \(F(t)\).
+
+2. Высокие частоты \(\left(\omega>\omega_0\right)\)
+
+При высоких частотах
+
+$$ \omega_0^2-\omega^2<0 \quad\Longrightarrow\quad \tan\varphi<0. $$
+
+Фазовый сдвиг лежит в интервале
+
+$$ \frac{\pi}{2}<\varphi\leq\pi. $$
+
+В пределе быстро меняющейся силы
+
+$$ \omega\gg\omega_0 \quad\Longrightarrow\quad \varphi\to\pi. $$
+
+Физический смысл: при высоких частотах определяющую роль начинает играть инерция тела. Из второго закона Ньютона при
+
+$$ \omega\gg\omega_0 $$
+
+упругой силой и силой трения можно пренебречь по сравнению с инерционной составляющей:
+
+$$ ma(t)\approx F(t). $$
+
+Так как
+
+$$ a(t)=-\omega^2x(t), $$
+
+получаем
+
+$$ -m\omega^2x(t)\approx F(t). $$
+
+Следовательно,
+
+$$ x(t)\approx-\frac{F(t)}{m\omega^2}. $$
+
+Минус показывает, что смещение \(x(t)\) направлено противоположно внешней силе \(F(t)\), что соответствует сдвигу фаз
+
+$$ \varphi=\pi. $$
+Ответ
+
+При
+
+$$ \omega<\omega_0 $$
+
+преобладает действие упругой силы, поэтому смещение и вынуждающая сила направлены в одну сторону:
+
+$$ \varphi\to0. $$
+
+При
+
+$$ \omega>\omega_0 $$
+
+определяющей становится инерция массы, поэтому смещение и вынуждающая сила направлены в противоположные стороны:
+
+$$ \varphi\to\pi. $$