| Условие: | | Условие: |
| | | |
| В тепловом манометре давление газа определяют по температуре теплового элемента, на котором в единицу времени выделяется всегда одно и то же количество теплоты. На рисунке приведен график зависимости температуры элемента от давления азота. Как, пользуясь этим графиком, получить аналогичную кривую для водорода? | | В тепловом манометре давление газа определяют по температуре теплового элемента, на котором в единицу времени выделяется всегда одно и то же количество теплоты. На рисунке приведен график зависимости температуры элемента от давления азота. Как, пользуясь этим графиком, получить аналогичную кривую для водорода? |
| | | |
| Решение: | | Решение: |
| | | |
| Мощность теплоотдачи с поверхности нагревателя определяет его установившуюся температуру $T$. Мощность теплоотвода за счет теплопроводности газа пропорциональна коэффициенту теплопроводности $\varkappa$ и разности температур: | | Мощность теплоотдачи с поверхности нагревателя определяет его установившуюся температуру $T$. Мощность теплоотвода за счет теплопроводности газа пропорциональна коэффициенту теплопроводности $\varkappa$ и разности температур: |
| \[ | | \[ |
| Q = \alpha \varkappa (T - T_0) | | Q = \alpha \varkappa (T - T_0) |
| \] | | \] |
| где $T_0$ — температура окружающей среды, $\alpha$ — геометрический коэффициент. | | где $T_0$ — температура окружающей среды, $\alpha$ — геометрический коэффициент. |
| | | |
| В области низких давлений (длина свободного пробега молекул больше размеров сосуда) коэффициент теплопроводности газа пропорционален давлению $P$ и средней тепловой скорости молекул $\langle v \rangle$: | | В области низких давлений (длина свободного пробега молекул больше размеров сосуда) коэффициент теплопроводности газа пропорционален давлению $P$ и средней тепловой скорости молекул $\langle v \rangle$: |
| \[ | | \[ |
| \varkappa \sim n \langle v \rangle \sim P \sqrt{\frac{1}{M}} | | \varkappa \sim n \langle v \rangle \sim P \sqrt{\frac{1}{M}} |
| \] | | \] |
| где $M$ — молярная масса газа. | | где $M$ — молярная масса газа. |
| | | |
| Следовательно, равная температура элемента $T$ (и одинаковый теплоотвод) достигается при условии одинаковой теплопроводности газа: | | Следовательно, равная температура элемента $T$ (и одинаковый теплоотвод) достигается при условии одинаковой теплопроводности газа: |
| \[ | | \[ |
| \varkappa_{\mathrm{N_2}} = \varkappa_{\mathrm{H_2}} \implies P_{\mathrm{N_2}} \sqrt{\frac{1}{M_{\mathrm{N_2}}}} = P_{\mathrm{H_2}} \sqrt{\frac{1}{M_{\mathrm{H_2}}}} | | \varkappa_{\mathrm{N_2}} = \varkappa_{\mathrm{H_2}} \implies P_{\mathrm{N_2}} \sqrt{\frac{1}{M_{\mathrm{N_2}}}} = P_{\mathrm{H_2}} \sqrt{\frac{1}{M_{\mathrm{H_2}}}} |
| \] | | \] |
| | | |
| Отсюда связь между давлениями водорода и азота при одинаковой температуре $T$: | | Отсюда связь между давлениями водорода и азота при одинаковой температуре $T$: |
| \[ | | \[ |
| P_{\mathrm{H_2}} = P_{\mathrm{N_2}} \sqrt{\frac{M_{\mathrm{H_2}}}{M_{\mathrm{N_2}}}} | | P_{\mathrm{H_2}} = P_{\mathrm{N_2}} \sqrt{\frac{M_{\mathrm{H_2}}}{M_{\mathrm{N_2}}}} |
| \] | | \] |
| | | |
| Молярные массы азота $\mathrm{N_2}$ и водорода $\mathrm{H_2}$: | | Молярные массы азота $\mathrm{N_2}$ и водорода $\mathrm{H_2}$: |
| \[ | | \[ |
| M_{\mathrm{N_2}} = 28\,\mathrm{г/моль},\qquad M_{\mathrm{H_2}} = 2\,\mathrm{г/моль} | | M_{\mathrm{N_2}} = 28\,\mathrm{г/моль},\qquad M_{\mathrm{H_2}} = 2\,\mathrm{г/моль} |
| \] | | \] |
| | | |
| Коэффициент масштабирования по оси давлений: | | Коэффициент масштабирования по оси давлений: |
| \[ | | \[ |
| \sqrt{\frac{M_{\mathrm{H_2}}}{M_{\mathrm{N_2}}}} = \sqrt{\frac{2}{28}} = \sqrt{\frac{1}{14}} \approx 0.267 | | \sqrt{\frac{M_{\mathrm{H_2}}}{M_{\mathrm{N_2}}}} = \sqrt{\frac{2}{28}} = \sqrt{\frac{1}{14}} \approx 0.267 |
| \] | | \] |
| | | |
