Edits to “Условие”, “Решение”

astrosander edited Sep 20, 2026, 7:09 AM

View solution History

revision #20836 parent #20745 ← older

ru/5.4.17.md +3 −5

		@@ -1,12 +1,10 @@
			### Условие

		−	![К задаче $5.4.17$\|1066x386, 50%](../../img/5.4.17/photo_2026-09-15_12-57-58.jpg)
		+	В тепловом манометре давление газа определяют по температуре теплового элемента, на котором в единицу времени выделяется всегда одно и то же количество теплоты. На рисунке приведен график зависимости температуры элемента от давления азота. Как, пользуясь этим графиком, получить аналогичную кривую для водорода?

		−	### Решение
		+	![\|297x177, 50%](../../img/5.4.17/statement.svg)

		−	Условие:
		−
		−	В тепловом манометре давление газа определяют по температуре теплового элемента, на котором в единицу времени выделяется всегда одно и то же количество теплоты. На рисунке приведен график зависимости температуры элемента от давления азота. Как, пользуясь этим графиком, получить аналогичную кривую для водорода?
		+	### Решение

			Решение:

			Мощность теплоотдачи с поверхности нагревателя определяет его установившуюся температуру $T$. Мощность теплоотвода за счет теплопроводности газа пропорциональна коэффициенту теплопроводности $\varkappa$ и разности температур:
			\[
			Q = \alpha \varkappa (T - T_0)
			\]
			где $T_0$ — температура окружающей среды, $\alpha$ — геометрический коэффициент.

			В области низких давлений (длина свободного пробега молекул больше размеров сосуда) коэффициент теплопроводности газа пропорционален давлению $P$ и средней тепловой скорости молекул $\langle v \rangle$:
			\[
			\varkappa \sim n \langle v \rangle \sim P \sqrt{\frac{1}{M}}
			\]
			где $M$ — молярная масса газа.

			Следовательно, равная температура элемента $T$ (и одинаковый теплоотвод) достигается при условии одинаковой теплопроводности газа:
			\[
			\varkappa_{\mathrm{N_2}} = \varkappa_{\mathrm{H_2}} \implies P_{\mathrm{N_2}} \sqrt{\frac{1}{M_{\mathrm{N_2}}}} = P_{\mathrm{H_2}} \sqrt{\frac{1}{M_{\mathrm{H_2}}}}
			\]

			Отсюда связь между давлениями водорода и азота при одинаковой температуре $T$:
			\[
			P_{\mathrm{H_2}} = P_{\mathrm{N_2}} \sqrt{\frac{M_{\mathrm{H_2}}}{M_{\mathrm{N_2}}}}
			\]

			Молярные массы азота $\mathrm{N_2}$ и водорода $\mathrm{H_2}$:
			\[
			M_{\mathrm{N_2}} = 28\,\mathrm{г/моль},\qquad M_{\mathrm{H_2}} = 2\,\mathrm{г/моль}
			\]

			Коэффициент масштабирования по оси давлений:
			\[
			\sqrt{\frac{M_{\mathrm{H_2}}}{M_{\mathrm{N_2}}}} = \sqrt{\frac{2}{28}} = \sqrt{\frac{1}{14}} \approx 0.267
			\]

			Ответ:

			Чтобы получить кривую для водорода, нужно сжать график по оси абсцисс (оси давления $P$) в $\sqrt{M_{\mathrm{N_2}}/M_{\mathrm{H_2}}} = \sqrt{14} \approx 3.74$ раза (или умножить все значения давления $P$ на графике на $\approx 0.267$), оставив значения температуры $T$ без изменений.
		unchanged lines 35

	@@ -1,12 +1,10 @@
	### Условие		### Условие

	![К задаче $5.4.17$\|1066x386, 50%](../../img/5.4.17/photo_2026-09-15_12-57-58.jpg)		В тепловом манометре давление газа определяют по температуре теплового элемента, на котором в единицу времени выделяется всегда одно и то же количество теплоты. На рисунке приведен график зависимости температуры элемента от давления азота. Как, пользуясь этим графиком, получить аналогичную кривую для водорода?

	### Решение		![\|297x177, 50%](../../img/5.4.17/statement.svg)

	Условие:		### Решение

	В тепловом манометре давление газа определяют по температуре теплового элемента, на котором в единицу времени выделяется всегда одно и то же количество теплоты. На рисунке приведен график зависимости температуры элемента от давления азота. Как, пользуясь этим графиком, получить аналогичную кривую для водорода?

	Решение:		Решение:

	Мощность теплоотдачи с поверхности нагревателя определяет его установившуюся температуру $T$. Мощность теплоотвода за счет теплопроводности газа пропорциональна коэффициенту теплопроводности $\varkappa$ и разности температур:		Мощность теплоотдачи с поверхности нагревателя определяет его установившуюся температуру $T$. Мощность теплоотвода за счет теплопроводности газа пропорциональна коэффициенту теплопроводности $\varkappa$ и разности температур:
	\[		\[
	Q = \alpha \varkappa (T - T_0)		Q = \alpha \varkappa (T - T_0)
	\]		\]
	где $T_0$ — температура окружающей среды, $\alpha$ — геометрический коэффициент.		где $T_0$ — температура окружающей среды, $\alpha$ — геометрический коэффициент.

	В области низких давлений (длина свободного пробега молекул больше размеров сосуда) коэффициент теплопроводности газа пропорционален давлению $P$ и средней тепловой скорости молекул $\langle v \rangle$:		В области низких давлений (длина свободного пробега молекул больше размеров сосуда) коэффициент теплопроводности газа пропорционален давлению $P$ и средней тепловой скорости молекул $\langle v \rangle$:
	\[		\[
	\varkappa \sim n \langle v \rangle \sim P \sqrt{\frac{1}{M}}		\varkappa \sim n \langle v \rangle \sim P \sqrt{\frac{1}{M}}
	\]		\]
	где $M$ — молярная масса газа.		где $M$ — молярная масса газа.

	Следовательно, равная температура элемента $T$ (и одинаковый теплоотвод) достигается при условии одинаковой теплопроводности газа:		Следовательно, равная температура элемента $T$ (и одинаковый теплоотвод) достигается при условии одинаковой теплопроводности газа:
	\[		\[
	\varkappa_{\mathrm{N_2}} = \varkappa_{\mathrm{H_2}} \implies P_{\mathrm{N_2}} \sqrt{\frac{1}{M_{\mathrm{N_2}}}} = P_{\mathrm{H_2}} \sqrt{\frac{1}{M_{\mathrm{H_2}}}}		\varkappa_{\mathrm{N_2}} = \varkappa_{\mathrm{H_2}} \implies P_{\mathrm{N_2}} \sqrt{\frac{1}{M_{\mathrm{N_2}}}} = P_{\mathrm{H_2}} \sqrt{\frac{1}{M_{\mathrm{H_2}}}}
	\]		\]

	Отсюда связь между давлениями водорода и азота при одинаковой температуре $T$:		Отсюда связь между давлениями водорода и азота при одинаковой температуре $T$:
	\[		\[
	P_{\mathrm{H_2}} = P_{\mathrm{N_2}} \sqrt{\frac{M_{\mathrm{H_2}}}{M_{\mathrm{N_2}}}}		P_{\mathrm{H_2}} = P_{\mathrm{N_2}} \sqrt{\frac{M_{\mathrm{H_2}}}{M_{\mathrm{N_2}}}}
	\]		\]

	Молярные массы азота $\mathrm{N_2}$ и водорода $\mathrm{H_2}$:		Молярные массы азота $\mathrm{N_2}$ и водорода $\mathrm{H_2}$:
	\[		\[
	M_{\mathrm{N_2}} = 28\,\mathrm{г/моль},\qquad M_{\mathrm{H_2}} = 2\,\mathrm{г/моль}		M_{\mathrm{N_2}} = 28\,\mathrm{г/моль},\qquad M_{\mathrm{H_2}} = 2\,\mathrm{г/моль}
	\]		\]

	Коэффициент масштабирования по оси давлений:		Коэффициент масштабирования по оси давлений:
	\[		\[
	\sqrt{\frac{M_{\mathrm{H_2}}}{M_{\mathrm{N_2}}}} = \sqrt{\frac{2}{28}} = \sqrt{\frac{1}{14}} \approx 0.267		\sqrt{\frac{M_{\mathrm{H_2}}}{M_{\mathrm{N_2}}}} = \sqrt{\frac{2}{28}} = \sqrt{\frac{1}{14}} \approx 0.267
	\]		\]

	Ответ:		Ответ:

	Чтобы получить кривую для водорода, нужно сжать график по оси абсцисс (оси давления $P$) в $\sqrt{M_{\mathrm{N_2}}/M_{\mathrm{H_2}}} = \sqrt{14} \approx 3.74$ раза (или умножить все значения давления $P$ на графике на $\approx 0.267$), оставив значения температуры $T$ без изменений.		Чтобы получить кривую для водорода, нужно сжать график по оси абсцисс (оси давления $P$) в $\sqrt{M_{\mathrm{N_2}}/M_{\mathrm{H_2}}} = \sqrt{14} \approx 3.74$ раза (или умножить все значения давления $P$ на графике на $\approx 0.267$), оставив значения температуры $T$ без изменений.
	unchanged lines 35