Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited Sep 15, 2026, 7:09 PM

View solution History

revision #20760 parent #20756 ← older

ru/5.8.9.md +56 −3

		@@ -1,11 +1,64 @@
			### Условие

		−	$5.8.9.$ [Вставьте условие задачи]
		+	$5.8.9.$ Знание вероятности состояния системы в молекулярной физике позволяет предсказать дальнейшее поведение этой системы. Можно реализовать маловероятное событие. Например, в одной половине сосуда, разделенного на две одинаковые части перегородкой, находится газ. Перегородку очень быстро убирают. Осуществлено состояние газа, вероятность которого равна $2^{−N}$ , где $N$ - число частиц газа в сосуде. Этот результат можно получить, решив задачу 5.8.1в. В последующие моменты времени в сосуде будут осуществляться другие состояния. В начальное же состояние система не перейдет - слишком мала его вероятность! Следовательно, будет происходить необратимый переход в новые, более вероятные состояния, молекулы будут заполнять все пространство сосуда. Этот пример показывает, что знание вероятности состояния новой системы является очень полезным.
		+	А как вычислить вероятность состояния для других систем? Не слишком
		+	ли сложными будут вычисления? Оказывается - нет, не очень. Вычислять, во
		+	сколько раз вероятность одного состояния больше вероятности другого, нужно следующим образом. Если мы системе, находящейся в состоянии 1 при температуре $T$, сообщим количество теплоты $Q$, то она перейдет в другое состояние, вероятность которого в $\exp (Q/kT)$ раз больше вероятности состояния 1 ($k$ - постоянная Больцмана). Приведем пример того, как проводятся такие вычисления. Найдем, во сколько раз вероятность состояния, в котором все $N$ молекул газа находятся в одной
		+	половине сосуда (состояние 1), меньше вероятности состояния, в котором молекулы заполняют равномерно все пространство сосуда (состояние 2). Перегородим сосуд, в котором находятся молекулы, подвижным поршнем. При перемещении поршня влево на $\Delta x$ газ совершает работу $\Delta A$ и охлаждается. Для того чтобы сохранить температуру газа постоянной, мы должны сообщить молекулам газа количество теплоты $\Delta Q=\Delta A$ (для восполнения энергетических потерь в газе). Следовательно, при перемещении поршня влево мы передадим газу при температуре $T$ количество теплоты $Q=A$. При изотермическом расширении $A=\nu RT\ln\left( \frac{V_{к}}{V_{н}} \right)$, где $\nu$ - количество газа (в молях), $R=kN_{A}$ - газовая постоянная, $N_{A}$ - постоянная Авогадро, $V_{н}$ - начальный объем, $V_{к}$ - конечный объем газа. В нашем случае $N=\nu N_{A}$, $\frac{V_{к}}{V_{н}}=2$. Поэтому формулу для работы можно переписать в виде $A=N\cdot kT\ln2$. Следовательно, вероятность состояния 2 в $\exp (A/kT) = \exp (N \ln 2) = 2N$ раз больше вероятности состояния 1. Мы получили решение задачи 5.8.1в, рассматривая термодинамический процесс. Таким же способом определите вероятность того,
		+	что в области, имеющей объем $V$ и являющейся частью пространства, объем которого $V_{0}$, соберутся все молекулы, движущиеся в этом пространстве. Используя термодинамический процесс, решите задачу 5.8.3. Можно ли таким способом решить задачу 5.8.1?

		+	![К задаче $5.8.9$\|191x102, 50%](../../img/5.8.9/5.8.9.png)
		+
			### Решение

		−	asd
		+	Чтобы использовать приведённое в тексте правило, мысленно изотермически сожмём газ от $V_{0}$ до $V$. Работа при таком сжатии:

		+	$$A=\nu RT\ln\left( \frac{V_{0}}{V} \right)$$
		+
		+	Но при этом газ должен отдавать количество теплоты:
		+
		+	$$Q=-A$$
		+
		+	По правилу из текста задачи отношение вероятностей двух состояний определяется как:
		+
		+	$$\frac{p_{V}}{p_{0}}=\exp\left( \frac{Q}{kT} \right)$$
		+
		+	Или:
		+
		+	$$\frac{p_{V}}{p_{0}}=\exp\left( -\frac{\nu RT}{kT}\ln \frac{V_{0}}{V} \right)=\exp\left( -\frac{\nu kN_{A}}{k}\ln \frac{V_{0}}{V} \right)=\exp\left( -N\ln\frac{V_{0}}{V} \right)$$
		+
		+	Окончательно:
		+
		+	$$\boxed{p=\frac{p_{V}}{p_{0}}=\left( \frac{V}{V_{0}} \right)^{N}}$$
		+
		+	Теперь решим задачу $5.8.3.$ этим методом.
		+
		+	$\textbf{5.8.3.а.}$ Пусть сначала все $N$ молекул находятся в объёме $V_{0}-V$ то есть в остальной части сосуда. Затем газ изотермически расширяется до полного объёма $V_{0}$. Работа газа:
		+
		+	$$A=NkT\ln\frac{V_{0}}{V_{0}-V}$$
		+
		+	Чтобы температура оставалась постоянной, газ получает такое же количество теплоты:
		+
		+	$$Q=A$$
		+
		+	По приведённому в условии правилу вероятность нового состояния во столько раз больше начального:
		+
		+	$$p=\exp\left( -N\ln\frac{V_{0}}{V_{0}-V} \right)$$
		+
		+	Отсюда:
		+
		+	$$p=\left( \frac{V_{0}-V}{V_{0}} \right)^{N}=\left( 1-\frac{V}{V_{0}} \right)^{N}$$
		+
		+	$\textbf{5.8.3.б.}$ По условию:
		+
		+	$$\left( 1-\frac{V}{V_{0}} \right)^{N}=10^{-2}$$
		+
		+	Отсюда:
		+
		+	$$V=V_{0}\left( 1-10^{-2/N} \right)$$
		+
		+	Теперь, что касается задачи $5.8.1.$ Подзадача $5.8.1.в.$ уже была решена в условии задачи. Подзадачи $5.8.1.а.$ и $5.8.1.б.$ не могут быть решены термодинамическим процессом, поскольку для единичных частиц нет смысла таким понятиям, как температура, давление, теплота.
		+
			#### Ответ

		−	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
		+	$$p=\left( \frac{V}{V_{0}} \right)^{N}$$

	@@ -1,11 +1,64 @@
	### Условие		### Условие

	$5.8.9.$ [Вставьте условие задачи]		$5.8.9.$ Знание вероятности состояния системы в молекулярной физике позволяет предсказать дальнейшее поведение этой системы. Можно реализовать маловероятное событие. Например, в одной половине сосуда, разделенного на две одинаковые части перегородкой, находится газ. Перегородку очень быстро убирают. Осуществлено состояние газа, вероятность которого равна $2^{−N}$ , где $N$ - число частиц газа в сосуде. Этот результат можно получить, решив задачу 5.8.1в. В последующие моменты времени в сосуде будут осуществляться другие состояния. В начальное же состояние система не перейдет - слишком мала его вероятность! Следовательно, будет происходить необратимый переход в новые, более вероятные состояния, молекулы будут заполнять все пространство сосуда. Этот пример показывает, что знание вероятности состояния новой системы является очень полезным.
			А как вычислить вероятность состояния для других систем? Не слишком
			ли сложными будут вычисления? Оказывается - нет, не очень. Вычислять, во
			сколько раз вероятность одного состояния больше вероятности другого, нужно следующим образом. Если мы системе, находящейся в состоянии 1 при температуре $T$, сообщим количество теплоты $Q$, то она перейдет в другое состояние, вероятность которого в $\exp (Q/kT)$ раз больше вероятности состояния 1 ($k$ - постоянная Больцмана). Приведем пример того, как проводятся такие вычисления. Найдем, во сколько раз вероятность состояния, в котором все $N$ молекул газа находятся в одной
			половине сосуда (состояние 1), меньше вероятности состояния, в котором молекулы заполняют равномерно все пространство сосуда (состояние 2). Перегородим сосуд, в котором находятся молекулы, подвижным поршнем. При перемещении поршня влево на $\Delta x$ газ совершает работу $\Delta A$ и охлаждается. Для того чтобы сохранить температуру газа постоянной, мы должны сообщить молекулам газа количество теплоты $\Delta Q=\Delta A$ (для восполнения энергетических потерь в газе). Следовательно, при перемещении поршня влево мы передадим газу при температуре $T$ количество теплоты $Q=A$. При изотермическом расширении $A=\nu RT\ln\left( \frac{V_{к}}{V_{н}} \right)$, где $\nu$ - количество газа (в молях), $R=kN_{A}$ - газовая постоянная, $N_{A}$ - постоянная Авогадро, $V_{н}$ - начальный объем, $V_{к}$ - конечный объем газа. В нашем случае $N=\nu N_{A}$, $\frac{V_{к}}{V_{н}}=2$. Поэтому формулу для работы можно переписать в виде $A=N\cdot kT\ln2$. Следовательно, вероятность состояния 2 в $\exp (A/kT) = \exp (N \ln 2) = 2N$ раз больше вероятности состояния 1. Мы получили решение задачи 5.8.1в, рассматривая термодинамический процесс. Таким же способом определите вероятность того,
			что в области, имеющей объем $V$ и являющейся частью пространства, объем которого $V_{0}$, соберутся все молекулы, движущиеся в этом пространстве. Используя термодинамический процесс, решите задачу 5.8.3. Можно ли таким способом решить задачу 5.8.1?

			![К задаче $5.8.9$\|191x102, 50%](../../img/5.8.9/5.8.9.png)

	### Решение		### Решение

	asd		Чтобы использовать приведённое в тексте правило, мысленно изотермически сожмём газ от $V_{0}$ до $V$. Работа при таком сжатии:

			$$A=\nu RT\ln\left( \frac{V_{0}}{V} \right)$$

			Но при этом газ должен отдавать количество теплоты:

			$$Q=-A$$

			По правилу из текста задачи отношение вероятностей двух состояний определяется как:

			$$\frac{p_{V}}{p_{0}}=\exp\left( \frac{Q}{kT} \right)$$

			Или:

			$$\frac{p_{V}}{p_{0}}=\exp\left( -\frac{\nu RT}{kT}\ln \frac{V_{0}}{V} \right)=\exp\left( -\frac{\nu kN_{A}}{k}\ln \frac{V_{0}}{V} \right)=\exp\left( -N\ln\frac{V_{0}}{V} \right)$$

			Окончательно:

			$$\boxed{p=\frac{p_{V}}{p_{0}}=\left( \frac{V}{V_{0}} \right)^{N}}$$

			Теперь решим задачу $5.8.3.$ этим методом.

			$\textbf{5.8.3.а.}$ Пусть сначала все $N$ молекул находятся в объёме $V_{0}-V$ то есть в остальной части сосуда. Затем газ изотермически расширяется до полного объёма $V_{0}$. Работа газа:

			$$A=NkT\ln\frac{V_{0}}{V_{0}-V}$$

			Чтобы температура оставалась постоянной, газ получает такое же количество теплоты:

			$$Q=A$$

			По приведённому в условии правилу вероятность нового состояния во столько раз больше начального:

			$$p=\exp\left( -N\ln\frac{V_{0}}{V_{0}-V} \right)$$

			Отсюда:

			$$p=\left( \frac{V_{0}-V}{V_{0}} \right)^{N}=\left( 1-\frac{V}{V_{0}} \right)^{N}$$

			$\textbf{5.8.3.б.}$ По условию:

			$$\left( 1-\frac{V}{V_{0}} \right)^{N}=10^{-2}$$

			Отсюда:

			$$V=V_{0}\left( 1-10^{-2/N} \right)$$

			Теперь, что касается задачи $5.8.1.$ Подзадача $5.8.1.в.$ уже была решена в условии задачи. Подзадачи $5.8.1.а.$ и $5.8.1.б.$ не могут быть решены термодинамическим процессом, поскольку для единичных частиц нет смысла таким понятиям, как температура, давление, теплота.

	#### Ответ		#### Ответ

	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]		$$p=\left( \frac{V}{V_{0}} \right)^{N}$$