5.8.9. Знание вероятности состояния системы в молекулярной физике позволяет предсказать дальнейшее поведение этой системы. Можно реализовать маловероятное событие. Например, в одной половине сосуда, разделенного на две одинаковые части перегородкой, находится газ. Перегородку очень быстро убирают. Осуществлено состояние газа, вероятность которого равна $2^{−N}$ , где $N$ - число частиц газа в сосуде. Этот результат можно получить, решив задачу 5.8.1в. В последующие моменты времени в сосуде будут осуществляться другие состояния. В начальное же состояние система не перейдет - слишком мала его вероятность! Следовательно, будет происходить необратимый переход в новые, более вероятные состояния, молекулы будут заполнять все пространство сосуда. Этот пример показывает, что знание вероятности состояния новой системы является очень полезным. А как вычислить вероятность состояния для других систем? Не слишком ли сложными будут вычисления? Оказывается - нет, не очень. Вычислять, во сколько раз вероятность одного состояния больше вероятности другого, нужно следующим образом. Если мы системе, находящейся в состоянии 1 при температуре $T$, сообщим количество теплоты $Q$, то она перейдет в другое состояние, вероятность которого в $\exp (Q/kT)$ раз больше вероятности состояния 1 ($k$ - постоянная Больцмана). Приведем пример того, как проводятся такие вычисления. Найдем, во сколько раз вероятность состояния, в котором все $N$ молекул газа находятся в одной половине сосуда (состояние 1), меньше вероятности состояния, в котором молекулы заполняют равномерно все пространство сосуда (состояние 2). Перегородим сосуд, в котором находятся молекулы, подвижным поршнем. При перемещении поршня влево на $\Delta x$ газ совершает работу $\Delta A$ и охлаждается. Для того чтобы сохранить температуру газа постоянной, мы должны сообщить молекулам газа количество теплоты $\Delta Q=\Delta A$ (для восполнения энергетических потерь в газе). Следовательно, при перемещении поршня влево мы передадим газу при температуре $T$ количество теплоты $Q=A$. При изотермическом расширении $A=\nu RT\ln\left( \frac{V_{к}}{V_{н}} \right)$, где $\nu$ - количество газа (в молях), $R=kN_{A}$ - газовая постоянная, $N_{A}$ - постоянная Авогадро, $V_{н}$ - начальный объем, $V_{к}$ - конечный объем газа. В нашем случае $N=\nu N_{A}$,$\frac{V_{к}}{V_{н}}=2$. Поэтому формулу для работы можно переписать в виде $A=N\cdot kT\ln2$. Следовательно, вероятность состояния 2 в $\exp (A/kT) = \exp (N \ln 2) = 2N$ раз больше вероятности состояния 1. Мы получили решение задачи 5.8.1в, рассматривая термодинамический процесс. Таким же способом определите вероятность того, что в области, имеющей объем $V$ и являющейся частью пространства, объем которого $V_{0}$, соберутся все молекулы, движущиеся в этом пространстве. Используя термодинамический процесс, решите задачу 5.8.3. Можно ли таким способом решить задачу 5.8.1?
К задаче $5.8.9$
Решение
Чтобы использовать приведённое в тексте правило, мысленно изотермически сожмём газ от $V_{0}$ до $V$. Работа при таком сжатии:
$$A=\nu RT\ln\left( \frac{V_{0}}{V} \right)$$
Но при этом газ должен отдавать количество теплоты:
$$Q=-A$$
По правилу из текста задачи отношение вероятностей двух состояний определяется как:
$\textbf{5.8.3.а.}$ Пусть сначала все $N$ молекул находятся в объёме $V_{0}-V$ то есть в остальной части сосуда. Затем газ изотермически расширяется до полного объёма $V_{0}$. Работа газа:
$$A=NkT\ln\frac{V_{0}}{V_{0}-V}$$
Чтобы температура оставалась постоянной, газ получает такое же количество теплоты:
$$Q=A$$
По приведённому в условии правилу вероятность нового состояния во столько раз больше начального:
Теперь, что касается задачи $5.8.1.$ Подзадача $5.8.1.в.$ уже была решена в условии задачи. Подзадачи $5.8.1.а.$ и $5.8.1.б.$ не могут быть решены термодинамическим процессом, поскольку для единичных частиц нет смысла таким понятиям, как температура, давление, теплота.
