Решение

Поскольку пучок ускорен разностью потенциалов $V_0$, продольная скорость электронов (с зарядом $e$ и массой $m$) равна:
$$U = \sqrt{\frac{2eV_0}{m}}$$

Так как $V \ll V_0$, изменением продольной скорости электронов при прохождении через систему можно пренебречь. Скорость $U$ остается практически постоянной. Внешняя сфера заземлена, поэтому электрическое поле существует только в узком зазоре шириной $\Delta$ и направлено радиально от центра (считаем $V>0$, чтобы сила, действующая на электрон, была направлена к оси). Внутри малой сферы поля нет.

Пусть электрон влетает в зазор на малом расстоянии $x$ от центральной оси. Напряженность электрического поля в зазоре:
$$E = \frac{V}{\Delta}$$

Поскольку электрон летит не по центру, поле имеет поперечную составляющую, перпендикулярную оси пучка:
$$E_\perp = E \sin\alpha$$

Для малых отклонений $\sin\alpha \approx \frac{x}{R}$, тогда:
$$E_\perp = \frac{V}{\Delta} \frac{x}{R}$$

Поперечная (фокусирующая) сила, действующая на электрон в первом зазоре:
$$F_\perp = eE_\perp = \frac{Vxe}{R\Delta}$$

Время прохождения зазора электроном:
$$dt = \frac{\Delta}{U}$$

Поперечный импульс, который приобретает электрон на входе:
$$p_{\perp 1} = F_\perp dt = \left( \frac{Vxe}{R\Delta} \right) \frac{\Delta}{U} = \frac{Vxe}{UR}$$

Проверим, где бы сфокусировался пучок, если бы не было второго зазора. Приобретенная после первого зазора поперечная скорость электрона:
$$v_{\perp 1} = \frac{p_{\perp 1}}{m} = \frac{Vxe}{mUR}$$

Время $t_1$, за которое электрон достиг бы центральной оси, проходя расстояние $x$ с этой поперечной скоростью:
$$t_1 = \frac{x}{v_{\perp 1}} = \frac{x}{\frac{Vxe}{mUR}} = \frac{mUR}{Ve}$$

За это время пучок, двигаясь с продольной скоростью $U$, пролетит расстояние $f_1$, которое и было бы фокусным расстоянием первого зазора:
$$f_1 = U \cdot t_1 = U \left( \frac{mUR}{Ve} \right) = \frac{mU^2 R}{Ve}$$

Учитывая, что $mU^2 = 2eV_0$, получаем:
$$f_1 = \frac{2eV_0 R}{Ve} = 2R \frac{V_0}{V}$$

Так как по условию $V \ll V_0$, то $f_1 \gg 2R$. Это означает, что пучок не успеет сфокусироваться внутри полости и достигнет противоположного края внутренней оболочки практически на том же расстоянии $x$ от оси.

На выходе из системы пучок проходит через второй зазор $\Delta$. Поле снова направлено к центру, и электрон получает второй такой же поперечный импульс:
$$p_{\perp 2} = \frac{Vxe}{UR}$$

Суммарный поперечный импульс после вылета из системы:
$$p_\perp = p_{\perp 1} + p_{\perp 2} = \frac{2Vxe}{UR}$$

Итоговая приобретенная поперечная скорость электрона составит:
$$v_\perp = \frac{p_\perp}{m} = \frac{2Vxe}{mUR}$$

После вылета из сфер на пучок не действуют силы. Время $t$, за которое электрон окончательно достигнет центральной оси (преодолев расстояние $x$):
$$t = \frac{x}{v_\perp} = \frac{x}{\frac{2Vxe}{mUR}} = \frac{mUR}{2Ve}$$

За это время пучок, двигаясь с продольной скоростью $U$, пролетит расстояние $f$, которое является искомым фокусным расстоянием всей системы:
$$f = U \cdot t = U \left( \frac{mUR}{2Ve} \right) = \frac{mU^2 R}{2Ve}$$

Подставляя начальную кинетическую энергию $mU^2 = 2eV_0$, окончательно получаем:
$$f = \frac{2eV_0 R}{2Ve} = R \frac{V_0}{V}$$