7.2.10. Где сфокусируется тонкий параллельный пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов $V_0$, электрическим полем, созданным двумя концентрическими сферами радиуса $R$ и $R - \Delta$,$\Delta \ll R$? Внешняя сфера заземлена, потенциал внутренней сферы $V \ll V_0$, пучок проходит через центр сфер.
К задаче $7.2.10$
Решение
Поскольку пучок ускорен разностью потенциалов $V_0$, продольная скорость электронов (с зарядом $e$ и массой $m$) равна: $$U = \sqrt{\frac{2eV_0}{m}}$$
Так как $V \ll V_0$, изменением продольной скорости электронов при прохождении через систему можно пренебречь. Скорость $U$ остается практически постоянной. Внешняя сфера заземлена, поэтому электрическое поле существует только в узком зазоре шириной $\Delta$ и направлено радиально от центра (считаем $V>0$, чтобы сила, действующая на электрон, была направлена к оси). Внутри малой сферы поля нет.
Пусть электрон влетает в зазор на малом расстоянии $x$ от центральной оси. Напряженность электрического поля в зазоре: $$E = \frac{V}{\Delta}$$
Поскольку электрон летит не по центру, поле имеет поперечную составляющую, перпендикулярную оси пучка: $$E_\perp = E \sin\alpha$$
Для малых отклонений $\sin\alpha \approx \frac{x}{R}$, тогда: $$E_\perp = \frac{V}{\Delta} \frac{x}{R}$$
Поперечная (фокусирующая) сила, действующая на электрон в первом зазоре: $$F_\perp = eE_\perp = \frac{Vxe}{R\Delta}$$
Время прохождения зазора электроном: $$dt = \frac{\Delta}{U}$$
Поперечный импульс, который приобретает электрон на входе: $$p_{\perp 1} = F_\perp dt = \left( \frac{Vxe}{R\Delta} \right) \frac{\Delta}{U} = \frac{Vxe}{UR}$$
Проверим, где бы сфокусировался пучок, если бы не было второго зазора. Приобретенная после первого зазора поперечная скорость электрона: $$v_{\perp 1} = \frac{p_{\perp 1}}{m} = \frac{Vxe}{mUR}$$
Время $t_1$, за которое электрон достиг бы центральной оси, проходя расстояние $x$ с этой поперечной скоростью: $$t_1 = \frac{x}{v_{\perp 1}} = \frac{x}{\frac{Vxe}{mUR}} = \frac{mUR}{Ve}$$
За это время пучок, двигаясь с продольной скоростью $U$, пролетит расстояние $f_1$, которое и было бы фокусным расстоянием первого зазора: $$f_1 = U \cdot t_1 = U \left( \frac{mUR}{Ve} \right) = \frac{mU^2 R}{Ve}$$
Так как по условию $V \ll V_0$, то $f_1 \gg 2R$. Это означает, что пучок не успеет сфокусироваться внутри полости и достигнет противоположного края внутренней оболочки практически на том же расстоянии $x$ от оси.
На выходе из системы пучок проходит через второй зазор $\Delta$. Поле снова направлено к центру, и электрон получает второй такой же поперечный импульс: $$p_{\perp 2} = \frac{Vxe}{UR}$$
Суммарный поперечный импульс после вылета из системы: $$p_\perp = p_{\perp 1} + p_{\perp 2} = \frac{2Vxe}{UR}$$
После вылета из сфер на пучок не действуют силы. Время $t$, за которое электрон окончательно достигнет центральной оси (преодолев расстояние $x$): $$t = \frac{x}{v_\perp} = \frac{x}{\frac{2Vxe}{mUR}} = \frac{mUR}{2Ve}$$
За это время пучок, двигаясь с продольной скоростью $U$, пролетит расстояние $f$, которое является искомым фокусным расстоянием всей системы: $$f = U \cdot t = U \left( \frac{mUR}{2Ve} \right) = \frac{mU^2 R}{2Ve}$$
Подставляя начальную кинетическую энергию $mU^2 = 2eV_0$, окончательно получаем: $$f = \frac{2eV_0 R}{2Ve} = R \frac{V_0}{V}$$
Ответ
$$f = R\frac{V_0}{V}$$
Примечание: Почему в задачнике ответ $2R(V_0/V)^2$?
Наш результат $f = R(V_0/V)$ (линейная зависимость от отношения потенциалов) абсолютно верен для модели идеальных прозрачных сеток. В такой модели поле в зазоре строго радиальное и обрывается скачком.
Однако авторы задачника неявно предполагают более реалистичную систему: сплошные металлические сферы с открытыми отверстиями для пролета пучка (апертурные линзы). В такой системе возникают краевые эффекты:
Эффект первого порядка обнуляется: Возле отверстий электрическое поле «выпучивается». Появляются рассеивающие участки поля. Согласно интегральной теореме электронной оптики, для любой системы без сеток (где потенциал на оси плавно меняется от константы до константы), собирающее действие центральной части поля идеально и полностью компенсируется рассеивающим действием краевых полей. То есть фокусировка первого порядка малости ($V/V_0$) становится строго равна нулю.
Фокусировка второго порядка: Раз первый порядок исчез, в дело вступают микроскопические изменения продольной скорости. Внутри зазора кинетическая энергия электрона меняется на $\sim eV$. Из-за этого электрон проводит разное время в фокусирующей и рассеивающей частях поля отверстия. Этот дисбаланс времени порождает слабую результирующую фокусировку, пропорциональную уже квадрату изменения скорости, то есть $(V/V_0)^2$. Строгое интегрирование уравнения параксиального луча для такого поля дает точный коэффициент, вероятно приводя к ответу авторов $f = 2R(V_0/V)^2$.
Альтернативное решение
$\textbf{Эпиграф:}$ "Мне всё равно, что думает ИИ. Я художник, я так вижу."
Я полностью соглашаюсь и поддерживаю решение Вальтера, но лишь до того момента, как он нашёл фокусное расстояние, которое даёт первое отверстие, а именно:
$$f_{1}=2R\frac{V_{0}}{V}\tag{1}$$
По условию задачи внешняя сфера заземлена, её потенциал равен 0. Внутрення сфера имеет потенциал $V$. Напряжение в первом отверстии это разность потенциалов конечной точки и начальной точки: $V-0=V$. Напряжение на втором отверстии: $0-V=-V$. В этой задаче нельзя пренебрегать изменением толщины пучка электронов при движении внутри сфер. По условию задачи $V\ll V_{0}$, тогда мы можем утверждать, что продольная компонента скорости электрона при подходе ко второму отверстию не изменилась. И можем сразу записать фокусное расстояние, которое даёт это отверстие по аналогии с формулой (1):
$$f_{2}=2R\frac{V_{0}}{-V}=-f_{1} \tag{2}$$
то есть другое отверстие здесь работает как рассеивающая линза. Для нахождения общего фокусного расстояния воспользуемся формулой из оптики для сложной оптической системы из двух линз разведенных на расстояние $2R$:
