Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

marthasg._ edited
View solution History
revision #20770 parent #20769 ← older newer →
ru/14.4.31.md +34 −3
@@ -1,11 +1,42 @@
### Условие
−$14.4.31.$ [Вставьте условие задачи]
+$14.4.31.$ Электрон вращается в постоянном магнитном поле индукции $B$ , имея скорость $\vec{\beta} c$ . Включается электрическое поле $\vec{E}$ параллельно вектору скорости $\vec{\beta} c$ . Определите максимальную скорость электрона, которую он приобретает в скрещенном поле.
+![statement.svg|229x174, 50%](../../img/14.4.31/statement.svg)
### Решение
−№14.4.31
+Поле $B$ направлено "из плоскости чертежа" (ось $z$), скорость электрона в момент включения поля лежит в плоскости орбиты и направлена вдоль $E$(ось $y$). Тогда $E \ \bot \ B$, и задачу удобно решать переходом в систему отсчёта, дрейфующую перпендикулярно обоим полям.
+Получаем систему координат:
+$$\begin{cases}
+B = B \hat{z}, \\\\
+E = E \hat{y}, \\\\
+v_0 = \beta c \hat{y}
+\end{cases}$$
+Введём безразмерный параметр скрещённых полей:
+$$ \beta_E = \frac{E}{c B} \ , \ \text{(расматриваем случай} E < cB)$$
+
+ Переходя в дрейфующую систему $K'$, известно, что при $E < cB$ существует система $K'$, движущаяся относительно лаборотной со скоростью:
+ $$ u = c \beta_E \ \hat{x} \ , \ \ \gamma_u = \frac{1}{\sqrt{1- \beta_E^2}} , $$
+ в которой электрическое поле обращается в нуль, а остаётся только магнитное:
+
+ $$ B' = \frac{B}{\gamma_u} = B \ \sqrt{1 - \beta_E ^2}$$.
+
+В системе $K'$ электрон движется по окружности с постоянной по модулю скоростью $v'$ - она сохраняется, так как поле чисто магнитное.
+
+По формулам сложения скоростей( буст вдоль $x$ на $u$, при $v_{0x} = 0, \ v_{oy} = \beta c ):$
+$$v_x' = -u = -c \beta_E , \ \ v_y' = \frac{\beta c}{\gamma_u} = \beta c \sqrt{1- \beta_E^2} .$$
+Здесь мы получаем модуль:
+$$ \frac{v'}{c} = \beta' = \sqrt{\beta_E^2 + \beta^2 (1 - \beta_E^2)} .$$
+Возращаемся в лабораторную систему.
+в $K'$ вектор скорости вращается по оркужности, оставаясь по модулю равной $v'$. При обратном переходе в лабораторную систему скорость электорна колеблется - она максимальна в момент, когда вектор $v'$ сонаправлен с дрейфовой скоростью $u$ (тогла скорости складываются коллинеарно, что даёт наибольший результат релятивиствкого сложения):
+
+$$v_{max} = \frac{u + v'}{1 + \frac{u v'}{c^2}} \ \Leftrightarrow \ \beta_{max} = \frac{\beta_E + \beta'}{1 + \beta_E \beta'}.$$
+
+Подставляя все на месте, получаем:
+ $$ \beta_{max} = \frac{\frac{E}{c B} + \sqrt{\left( \frac{E}{c B}\right)^2 + \beta^2 \left[ 1 - \left( \frac{E}{cB}\right)^2 \right]}}{1 + \frac{E}{cB} \sqrt{\left( \frac{E}{c B} \right)^2 + \beta^2 \left[ 1 - \left( \frac{E}{c B} \right)^2 \right]} }$$
+ $ v_{max} = \beta{max} \ c$ справедливо при $E < c B$ (иначе дрейфовая скорость $u$ превысила бы с, и движение становится неограниченно ускоренным - "максимальной" конечной скорости уже нет.)
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+ $$ \beta_{max} = \frac{\frac{E}{c B} + \sqrt{\left( \frac{E}{c B}\right)^2 + \beta^2 \left[ 1 - \left( \frac{E}{cB}\right)^2 \right]}}{1 + \frac{E}{cB} \sqrt{\left( \frac{E}{c B} \right)^2 + \beta^2 \left[ 1 - \left( \frac{E}{c B} \right)^2 \right]} }$$