| Поле $B$ направлено "из плоскости чертежа" (ось $z$), скорость электрона в момент включения поля лежит в плоскости орбиты и направлена вдоль $E$(ось $y$). Тогда $E \ \bot \ B$, и задачу удобно решать переходом в систему отсчёта, дрейфующую перпендикулярно обоим полям. | | Поле $B$ направлено "из плоскости чертежа" (ось $z$), скорость электрона в момент включения поля лежит в плоскости орбиты и направлена вдоль $E$(ось $y$). Тогда $E \ \bot \ B$, и задачу удобно решать переходом в систему отсчёта, дрейфующую перпендикулярно обоим полям. |
| Получаем систему координат: | | Получаем систему координат: |
| $$\begin{cases} | | $$\begin{cases} |
| B = B \hat{z}, \\\\ | | B = B \hat{z}, \\\\ |
| E = E \hat{y}, \\\\ | | E = E \hat{y}, \\\\ |
| v_0 = \beta c \hat{y} | | v_0 = \beta c \hat{y} |
| \end{cases}$$ | | \end{cases}$$ |
| | | |
| Введём безразмерный параметр скрещённых полей: | | Введём безразмерный параметр скрещённых полей: |
| $$ \beta_E = \frac{E}{c B} \ , \ \text{(расматриваем случай} E < cB)$$ | | $$ \beta_E = \frac{E}{c B} \ , \ \text{(расматриваем случай} E < cB)$$ |
| | | |
| Переходя в дрейфующую систему $K'$, известно, что при $E < cB$ существует система $K'$, движущаяся относительно лаборотной со скоростью: | | Переходя в дрейфующую систему $K'$, известно, что при $E < cB$ существует система $K'$, движущаяся относительно лаборотной со скоростью: |
| $$ u = c \beta_E \ \hat{x} \ , \ \ \gamma_u = \frac{1}{\sqrt{1- \beta_E^2}} , $$ | | $$ u = c \beta_E \ \hat{x} \ , \ \ \gamma_u = \frac{1}{\sqrt{1- \beta_E^2}} , $$ |
| в которой электрическое поле обращается в нуль, а остаётся только магнитное: | | в которой электрическое поле обращается в нуль, а остаётся только магнитное: |
| | | |
| $$ B' = \frac{B}{\gamma_u} = B \ \sqrt{1 - \beta_E ^2}$$. | | $$ B' = \frac{B}{\gamma_u} = B \ \sqrt{1 - \beta_E ^2}$$. |
| | | |
| В системе $K'$ электрон движется по окружности с постоянной по модулю скоростью $v'$ - она сохраняется, так как поле чисто магнитное. | | В системе $K'$ электрон движется по окружности с постоянной по модулю скоростью $v'$ - она сохраняется, так как поле чисто магнитное. |
| | | |
| По формулам сложения скоростей( буст вдоль $x$ на $u$, при $v_{0x} = 0, \ v_{oy} = \beta c ):$ | | По формулам сложения скоростей( буст вдоль $x$ на $u$, при $v_{0x} = 0, \ v_{oy} = \beta c ):$ |
| $$v_x' = -u = -c \beta_E , \ \ v_y' = \frac{\beta c}{\gamma_u} = \beta c \sqrt{1- \beta_E^2} .$$ | | $$v_x' = -u = -c \beta_E , \ \ v_y' = \frac{\beta c}{\gamma_u} = \beta c \sqrt{1- \beta_E^2} .$$ |
| Здесь мы получаем модуль: | | Здесь мы получаем модуль: |
| $$ \frac{v'}{c} = \beta' = \sqrt{\beta_E^2 + \beta^2 (1 - \beta_E^2)} .$$ | | $$ \frac{v'}{c} = \beta' = \sqrt{\beta_E^2 + \beta^2 (1 - \beta_E^2)} .$$ |
| Возращаемся в лабораторную систему. | | Возращаемся в лабораторную систему. |
| в $K'$ вектор скорости вращается по оркужности, оставаясь по модулю равной $v'$. При обратном переходе в лабораторную систему скорость электорна колеблется - она максимальна в момент, когда вектор $v'$ сонаправлен с дрейфовой скоростью $u$ (тогла скорости складываются коллинеарно, что даёт наибольший результат релятивиствкого сложения): | | в $K'$ вектор скорости вращается по оркужности, оставаясь по модулю равной $v'$. При обратном переходе в лабораторную систему скорость электорна колеблется - она максимальна в момент, когда вектор $v'$ сонаправлен с дрейфовой скоростью $u$ (тогла скорости складываются коллинеарно, что даёт наибольший результат релятивиствкого сложения): |
| | | |
| $$v_{max} = \frac{u + v'}{1 + \frac{u v'}{c^2}} \ \Leftrightarrow \ \beta_{max} = \frac{\beta_E + \beta'}{1 + \beta_E \beta'}.$$ | | $$v_{max} = \frac{u + v'}{1 + \frac{u v'}{c^2}} \ \Leftrightarrow \ \beta_{max} = \frac{\beta_E + \beta'}{1 + \beta_E \beta'}.$$ |
| | | |
| Подставляя все на месте, получаем: | | Подставляя все на месте, получаем: |
| $$ \beta_{max} = \frac{\frac{E}{c B} + \sqrt{\left( \frac{E}{c B}\right)^2 + \beta^2 \left[ 1 - \left( \frac{E}{cB}\right)^2 \right]}}{1 + \frac{E}{cB} \sqrt{\left( \frac{E}{c B} \right)^2 + \beta^2 \left[ 1 - \left( \frac{E}{c B} \right)^2 \right]} }$$ | | $$ \beta_{max} = \frac{\frac{E}{c B} + \sqrt{\left( \frac{E}{c B}\right)^2 + \beta^2 \left[ 1 - \left( \frac{E}{cB}\right)^2 \right]}}{1 + \frac{E}{cB} \sqrt{\left( \frac{E}{c B} \right)^2 + \beta^2 \left[ 1 - \left( \frac{E}{c B} \right)^2 \right]} }$$ |
| $ v_{max} = \beta{max} \ c$ справедливо при $E < c B$ (иначе дрейфовая скорость $u$ превысила бы с, и движение становится неограниченно ускоренным - "максимальной" конечной скорости уже нет.) | | $ v_{max} = \beta{max} \ c$ справедливо при $E < c B$ (иначе дрейфовая скорость $u$ превысила бы с, и движение становится неограниченно ускоренным - "максимальной" конечной скорости уже нет.) |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $$ \beta_{max} = \frac{\frac{E}{c B} + \sqrt{\left( \frac{E}{c B}\right)^2 + \beta^2 \left[ 1 - \left( \frac{E}{cB}\right)^2 \right]}}{1 + \frac{E}{cB} \sqrt{\left( \frac{E}{c B} \right)^2 + \beta^2 \left[ 1 - \left( \frac{E}{c B} \right)^2 \right]} }$$ | | $$ \beta_{max} = \frac{\frac{E}{c B} + \sqrt{\left( \frac{E}{c B}\right)^2 + \beta^2 \left[ 1 - \left( \frac{E}{cB}\right)^2 \right]}}{1 + \frac{E}{cB} \sqrt{\left( \frac{E}{c B} \right)^2 + \beta^2 \left[ 1 - \left( \frac{E}{c B} \right)^2 \right]} }$$ |
