| @@ -1,18 +1,48 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $8.2.1.$ Определите удельную проводимость металла, если число электронов проводимости в единице объема металла $n_e$, время между последовательными соударениями электрона с ионами кристаллической решетки $\tau$. Сразу после со |
| | − | ударения любое направление скорости электрона равновероятно. |
| | + | $8.2.1^*.$ |
| | + | $\textbf{а.}$ Определите удельную проводимость металла, если число электронов проводимости в единице объема металла $n_e$, время между последовательными соударениями электрона с ионами кристаллической решетки $\tau$. Сразу после соударения любое направление скорости электрона равновероятно.\ |
| | + | $\textbf{б.}$ Оцените среднее время между последовательными соударениями электрона проводимости с ионами кристаллической решетки меди. |
| | | |
| | | ### Решение |
| | − |  |
| | | |
| | − |  |
| | + | $\textbf{а.}$ В классической электронной теории проводимости движение электрона между соударениями с ионами решетки рассматривается как равноускоренное под действием внешнего электрического поля $\vec{E}$. Ускорение электрона равно: |
| | + | $$ \vec{a} = -\frac{e\vec{E}}{m_e} $$ |
| | + | где $e$ — элементарный заряд, $m_e$ — масса электрона. |
| | | |
| | + | Поскольку сразу после соударения любое направление скорости равновероятно, средняя скорость хаотического движения электронов сразу после столкновения равна нулю: $\langle \vec{v}_0 \rangle = 0$. |
| | | |
| | + | В любой момент времени $t$ после последнего соударения средняя скорость направленного движения (скорость дрейфа) $\upsilon_d$ определяется усреднением по всем временам свободного пробега. При строгом учете распределения времени пробегов (экспоненциальный закон), среднее значение приобретаемой скорости составляет: |
| | + | $$ \upsilon_d = a\tau = \frac{eE\tau}{m_e} $$ |
| | | |
| | + | Плотность электрического тока $j$ связана со скоростью дрейфа и концентрацией электронов $n_e$ соотношением: |
| | + | $$ j = en_e\upsilon_d $$ |
| | | |
| | + | Подставляя выражение для скорости дрейфа, получаем: |
| | + | $$ j = \frac{e^2 n_e \tau}{m_e} E $$ |
| | | |
| | + | Согласно закону Ома в дифференциальной форме, плотность тока пропорциональна напряженности поля: |
| | + | $$ j = \lambda E $$ |
| | + | |
| | + | Сравнивая два выражения, находим искомую удельную проводимость $\lambda$: |
| | + | $$ \lambda = \frac{e^2 n_e \tau}{m_e} $$ |
| | + | |
| | + | $\textbf{б.}$ Для оценки среднего времени между соударениями $\tau$ для меди выразим его из полученной формулы: |
| | + | $$ \tau = \frac{\lambda m_e}{e^2 n_e} $$ |
| | + | |
| | + | Из справочных данных известна удельная проводимость меди: $\lambda \approx 5.9 \cdot 10^7 \, \text{См/м}$. |
| | + | Оценим концентрацию электронов проводимости $n_e$, предполагая, что на каждый атом меди в кристаллической решетке приходится один свободный электрон: |
| | + | $$ n_e = \frac{\rho_{Cu} N_A}{M} $$ |
| | + | где $\rho_{Cu} \approx 8900 \, \text{кг/м}^3$ — плотность меди, $M \approx 0.0635 \, \text{кг/моль}$ — молярная масса, $N_A \approx 6.02 \cdot 10^{23} \, \text{моль}^{-1}$ — число Авогадро. |
| | + | $$ n_e = \frac{8900 \cdot 6.02 \cdot 10^{23}}{0.0635} \approx 8.4 \cdot 10^{28} \, \text{м}^{-3} $$ |
| | + | |
| | + | Подставляем известные константы ($e \approx 1.6 \cdot 10^{-19} \, \text{Кл}$, $m_e \approx 9.1 \cdot 10^{-31} \, \text{кг}$) в формулу для $\tau$: |
| | + | $$ \tau = \frac{5.8 \cdot 10^7 \cdot 9.1 \cdot 10^{-31}}{(1.6 \cdot 10^{-19})^2 \cdot 8.4 \cdot 10^{28}} = \frac{52.78 \cdot 10^{-24}}{2.56 \cdot 10^{-38} \cdot 8.4 \cdot 10^{28}} \approx 2.45 \cdot 10^{-14} \, \text{с} $$ |
| | + | |
| | + | $\textit{Примечание: Математический расчет на основе современных табличных данных дает значение $2.4 \cdot 10^{-14} \, \text{с}$. Ответ, приведенный в задачнике ($2.4 \cdot 10^{-15} \, \text{с}$), содержит опечатку на один порядок величины.}$ |
| | + | |
| | | #### Ответ |
| | − | $$ |
| | − | \lambda=\frac{e^2n_e\tau}{m_e} |
| | − | $$ |
| | + | |
| | + | $\textbf{а.}$ $\lambda = \frac{e^2 n_e \tau}{m_e}$ |
| | + | |
| | + | $\textbf{б.}$ $\tau \approx 2.4 \cdot 10^{-14} \, \text{с}$ |
