$8.2.1^*.$$\textbf{а.}$ Определите удельную проводимость металла, если число электронов проводимости в единице объема металла $n_e$, время между последовательными соударениями электрона с ионами кристаллической решетки $\tau$. Сразу после соударения любое направление скорости электрона равновероятно.\
$\textbf{б.}$ Оцените среднее время между последовательными соударениями электрона проводимости с ионами кристаллической решетки меди.
### Решение
$\textbf{а.}$ В классической электронной теории проводимости движение электрона между соударениями с ионами решетки рассматривается как равноускоренное под действием внешнего электрического поля $\vec{E}$. Ускорение электрона равно:
$$\vec{a} = -\frac{e\vec{E}}{m_e}$$
где $e$ — элементарный заряд, $m_e$ — масса электрона.
Поскольку сразу после соударения любое направление скорости равновероятно, средняя скорость хаотического движения электронов сразу после столкновения равна нулю: $\langle\vec{v}_0 \rangle = 0$.
В любой момент времени $t$ после последнего соударения средняя скорость направленного движения (скорость дрейфа) $\upsilon_d$ определяется усреднением по всем временам свободного пробега. При строгом учете распределения времени пробегов (экспоненциальный закон), среднее значение приобретаемой скорости составляет:
$$\upsilon_d = a\tau = \frac{eE\tau}{m_e}$$
Плотность электрического тока $j$ связана со скоростью дрейфа и концентрацией электронов $n_e$ соотношением:
$$ j = en_e\upsilon_d $$
Подставляя выражение для скорости дрейфа, получаем:
$$ j = \frac{e^2 n_e \tau}{m_e} E $$
Согласно закону Ома в дифференциальной форме, плотность тока пропорциональна напряженности поля:
$$ j = \lambda E $$
Сравнивая два выражения, находим искомую удельную проводимость $\lambda$:
$$\lambda = \frac{e^2 n_e \tau}{m_e}$$
$\textbf{б.}$ Для оценки среднего времени между соударениями $\tau$ для меди выразим его из полученной формулы:
$$\tau = \frac{\lambda m_e}{e^2 n_e}$$
Из справочных данных известна удельная проводимость меди: $\lambda\approx 5.9 \cdot 10^7 \, \text{См/м}$.
Оценим концентрацию электронов проводимости $n_e$, предполагая, что на каждый атом меди в кристаллической решетке приходится один свободный электрон:
$$ n_e = \frac{\rho_{Cu} N_A}{M}$$
где $\rho_{Cu}\approx 8900 \, \text{кг/м}^3$ — плотность меди, $M \approx 0.0635 \, \text{кг/моль}$ — молярная масса, $N_A \approx 6.02 \cdot 10^{23} \, \text{моль}^{-1}$ — число Авогадро.
$\textit{Примечание: Математический расчет на основе современных табличных данных дает значение $2.4 \cdot 10^{-14} \, \text{с}$. Ответ, приведенный в задачнике ($2.4 \cdot 10^{-15} \, \text{с}$), содержит опечатку на один порядок величины.}$
+
<i> Примечание: Математический расчет на основе современных табличных данных дает значение $2.4 \cdot 10^{-14} \, \text{с}$. Ответ, приведенный в задачнике ($2.4 \cdot 10^{-15} \, \text{с}$), содержит опечатку на один порядок величины.
$8.2.1^*.$$\textbf{а.}$ Определите удельную проводимость металла, если число электронов проводимости в единице объема металла $n_e$, время между последовательными соударениями электрона с ионами кристаллической решетки $\tau$. Сразу после соударения любое направление скорости электрона равновероятно.\
$8.2.1^*.$$\textbf{а.}$ Определите удельную проводимость металла, если число электронов проводимости в единице объема металла $n_e$, время между последовательными соударениями электрона с ионами кристаллической решетки $\tau$. Сразу после соударения любое направление скорости электрона равновероятно.\
$\textbf{б.}$ Оцените среднее время между последовательными соударениями электрона проводимости с ионами кристаллической решетки меди.
$\textbf{б.}$ Оцените среднее время между последовательными соударениями электрона проводимости с ионами кристаллической решетки меди.
### Решение
### Решение
$\textbf{а.}$ В классической электронной теории проводимости движение электрона между соударениями с ионами решетки рассматривается как равноускоренное под действием внешнего электрического поля $\vec{E}$. Ускорение электрона равно:
$\textbf{а.}$ В классической электронной теории проводимости движение электрона между соударениями с ионами решетки рассматривается как равноускоренное под действием внешнего электрического поля $\vec{E}$. Ускорение электрона равно:
$$\vec{a} = -\frac{e\vec{E}}{m_e}$$
$$\vec{a} = -\frac{e\vec{E}}{m_e}$$
где $e$ — элементарный заряд, $m_e$ — масса электрона.
где $e$ — элементарный заряд, $m_e$ — масса электрона.
Поскольку сразу после соударения любое направление скорости равновероятно, средняя скорость хаотического движения электронов сразу после столкновения равна нулю: $\langle\vec{v}_0 \rangle = 0$.
Поскольку сразу после соударения любое направление скорости равновероятно, средняя скорость хаотического движения электронов сразу после столкновения равна нулю: $\langle\vec{v}_0 \rangle = 0$.
В любой момент времени $t$ после последнего соударения средняя скорость направленного движения (скорость дрейфа) $\upsilon_d$ определяется усреднением по всем временам свободного пробега. При строгом учете распределения времени пробегов (экспоненциальный закон), среднее значение приобретаемой скорости составляет:
В любой момент времени $t$ после последнего соударения средняя скорость направленного движения (скорость дрейфа) $\upsilon_d$ определяется усреднением по всем временам свободного пробега. При строгом учете распределения времени пробегов (экспоненциальный закон), среднее значение приобретаемой скорости составляет:
$$\upsilon_d = a\tau = \frac{eE\tau}{m_e}$$
$$\upsilon_d = a\tau = \frac{eE\tau}{m_e}$$
Плотность электрического тока $j$ связана со скоростью дрейфа и концентрацией электронов $n_e$ соотношением:
Плотность электрического тока $j$ связана со скоростью дрейфа и концентрацией электронов $n_e$ соотношением:
$$ j = en_e\upsilon_d $$
$$ j = en_e\upsilon_d $$
Подставляя выражение для скорости дрейфа, получаем:
Подставляя выражение для скорости дрейфа, получаем:
$$ j = \frac{e^2 n_e \tau}{m_e} E $$
$$ j = \frac{e^2 n_e \tau}{m_e} E $$
Согласно закону Ома в дифференциальной форме, плотность тока пропорциональна напряженности поля:
Согласно закону Ома в дифференциальной форме, плотность тока пропорциональна напряженности поля:
$$ j = \lambda E $$
$$ j = \lambda E $$
Сравнивая два выражения, находим искомую удельную проводимость $\lambda$:
Сравнивая два выражения, находим искомую удельную проводимость $\lambda$:
$$\lambda = \frac{e^2 n_e \tau}{m_e}$$
$$\lambda = \frac{e^2 n_e \tau}{m_e}$$
$\textbf{б.}$ Для оценки среднего времени между соударениями $\tau$ для меди выразим его из полученной формулы:
$\textbf{б.}$ Для оценки среднего времени между соударениями $\tau$ для меди выразим его из полученной формулы:
$$\tau = \frac{\lambda m_e}{e^2 n_e}$$
$$\tau = \frac{\lambda m_e}{e^2 n_e}$$
Из справочных данных известна удельная проводимость меди: $\lambda\approx 5.9 \cdot 10^7 \, \text{См/м}$.
Из справочных данных известна удельная проводимость меди: $\lambda\approx 5.9 \cdot 10^7 \, \text{См/м}$.
Оценим концентрацию электронов проводимости $n_e$, предполагая, что на каждый атом меди в кристаллической решетке приходится один свободный электрон:
Оценим концентрацию электронов проводимости $n_e$, предполагая, что на каждый атом меди в кристаллической решетке приходится один свободный электрон:
$$ n_e = \frac{\rho_{Cu} N_A}{M}$$
$$ n_e = \frac{\rho_{Cu} N_A}{M}$$
где $\rho_{Cu}\approx 8900 \, \text{кг/м}^3$ — плотность меди, $M \approx 0.0635 \, \text{кг/моль}$ — молярная масса, $N_A \approx 6.02 \cdot 10^{23} \, \text{моль}^{-1}$ — число Авогадро.
где $\rho_{Cu}\approx 8900 \, \text{кг/м}^3$ — плотность меди, $M \approx 0.0635 \, \text{кг/моль}$ — молярная масса, $N_A \approx 6.02 \cdot 10^{23} \, \text{моль}^{-1}$ — число Авогадро.
$\textit{Примечание: Математический расчет на основе современных табличных данных дает значение $2.4 \cdot 10^{-14} \, \text{с}$. Ответ, приведенный в задачнике ($2.4 \cdot 10^{-15} \, \text{с}$), содержит опечатку на один порядок величины.}$
<i> Примечание: Математический расчет на основе современных табличных данных дает значение $2.4 \cdot 10^{-14} \, \text{с}$. Ответ, приведенный в задачнике ($2.4 \cdot 10^{-15} \, \text{с}$), содержит опечатку на один порядок величины.
