| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $14.2.15.$ Используя преобразование Лоренца, решите задачи $14.2.5^*$ и $14.2.6^*$. | | $14.2.15.$ Используя преобразование Лоренца, решите задачи $14.2.5^*$ и $14.2.6^*$. |
| | | |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| Главная идея метода заключается в том, что фаза плоской волны $\Phi = \omega t - kx$ является лоренц-инвариантом. Из этого следует, что частота $\nu$ и волновое число $k = \nu/c$ преобразуются при переходе между инерциальными системами отсчета по тем же формулам преобразований Лоренца, что и время $t$ и координата $x$. | | Главная идея метода заключается в том, что фаза плоской волны $\Phi = \omega t - kx$ является лоренц-инвариантом. Из этого следует, что частота $\nu$ и волновое число $k = \nu/c$ преобразуются при переходе между инерциальными системами отсчета по тем же формулам преобразований Лоренца, что и время $t$ и координата $x$. |
| | | |
| Алгоритм решения для обеих задач един: | | Алгоритм решения для обеих задач един: |
| 1. Переход из лабораторной системы ($K$) в систему отсчета покоя движущегося объекта ($K'$). | | 1. Переход из лабораторной системы ($K$) в систему отсчета покоя движущегося объекта ($K'$). |
| 2. Анализ процесса (отражение или преломление) в системе $K'$, где граница неподвижна. | | 2. Анализ процесса (отражение или преломление) в системе $K'$, где граница неподвижна. |
| 3. Обратный переход из $K'$ в лабораторную систему $K$ для измененной волны. | | 3. Обратный переход из $K'$ в лабораторную систему $K$ для измененной волны. |
| | | |
| --- | | --- |
| | | |
| <b>Решение задачи 14.2.5 (Отражение от зеркала)</b> | | <b>Решение задачи 14.2.5 (Отражение от зеркала)</b> |
| | | |
| Пусть падающая волна летит вдоль оси $x$. Ее частота $\nu$, волновое число $k = \nu/c$. Зеркало движется навстречу волне со скоростью $v = \beta c$. Проекция скорости зеркала в системе $K$ равна $V_x = -\beta c$. | | Пусть падающая волна летит вдоль оси $x$. Ее частота $\nu$, волновое число $k = \nu/c$. Зеркало движется навстречу волне со скоростью $v = \beta c$. Проекция скорости зеркала в системе $K$ равна $V_x = -\beta c$. |
| | | |
| <b>Шаг 1. Переход в систему зеркала $K'$.</b>\ | | <b>Шаг 1. Переход в систему зеркала $K'$.</b>\ |
| В системе покоя зеркала $K'$ частота падающей волны $\nu'$ определяется формулой релятивистского эффекта Доплера для движения навстречу (что прямо следует из преобразований Лоренца): | | В системе покоя зеркала $K'$ частота падающей волны $\nu'$ определяется формулой релятивистского эффекта Доплера для движения навстречу (что прямо следует из преобразований Лоренца): |
| $$ \nu' = \nu \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}} $$ | | $$ \nu' = \nu \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}} $$ |
| | | |
| <b>Шаг 2. Отражение в системе $K'$.</b>\ | | <b>Шаг 2. Отражение в системе $K'$.</b>\ |
| В системе $K'$ зеркало неподвижно. При нормальном отражении от неподвижного идеального зеркала частота волны сохраняется, а направление распространения меняется на противоположное. | | В системе $K'$ зеркало неподвижно. При нормальном отражении от неподвижного идеального зеркала частота волны сохраняется, а направление распространения меняется на противоположное. |
| Отраженная частота: $\nu'_{ref} = \nu'$. | | Отраженная частота: $\nu'_{ref} = \nu'$. |
| Отраженное волновое число (с учетом направления вдоль оси $-x$): $k'_{ref} = -\frac{\nu'}{c}$. | | Отраженное волновое число (с учетом направления вдоль оси $-x$): $k'_{ref} = -\frac{\nu'}{c}$. |
| | | |
| <b>Шаг 3. Возврат в лабораторную систему $K$.</b>\ | | <b>Шаг 3. Возврат в лабораторную систему $K$.</b>\ |
| Система $K'$ (зеркало) движется относительно $K$ со скоростью $V = -\beta c$. | | Система $K'$ (зеркало) движется относительно $K$ со скоростью $V = -\beta c$. |
| Применяем обратное преобразование Лоренца для частоты отраженной волны: | | Применяем обратное преобразование Лоренца для частоты отраженной волны: |
| $$ \nu_{ref} = \gamma (\nu'_{ref} + V k'_{ref}) = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \left( \nu' + (-\beta c) \left(-\frac{\nu'}{c}\right) \right) $$ | | $$ \nu_{ref} = \gamma (\nu'_{ref} + V k'_{ref}) = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \left( \nu' + (-\beta c) \left(-\frac{\nu'}{c}\right) \right) $$ |
| $$ \nu_{ref} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \nu' (1 + \beta) = \nu' \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}} $$ | | $$ \nu_{ref} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \nu' (1 + \beta) = \nu' \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}} $$ |
| Подставляем $\nu'$ из Шага 1: | | Подставляем $\nu'$ из Шага 1: |
| $$ \nu_{ref} = \left( \nu \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}} \right) \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}} = \nu \frac{1 + \beta}{1 - \beta} $$ | | $$ \nu_{ref} = \left( \nu \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}} \right) \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}} = \nu \frac{1 + \beta}{1 - \beta} $$ |
| Изменение частоты волны $\Delta \nu$: | | Изменение частоты волны $\Delta \nu$: |
| $$ \Delta \nu = \nu_{ref} - \nu = \nu \frac{1 + \beta}{1 - \beta} - \nu = \nu \frac{2\beta}{1 - \beta} $$ | | $$ \Delta \nu = \nu_{ref} - \nu = \nu \frac{1 + \beta}{1 - \beta} - \nu = \nu \frac{2\beta}{1 - \beta} $$ |
| Аналогично первой задаче, в системе покоя диэлектрика $K'$ частота падающей волны равна: | | Аналогично первой задаче, в системе покоя диэлектрика $K'$ частота падающей волны равна: |
| $$ \nu' = \nu \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}} $$ | | $$ \nu' = \nu \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}} $$ |
| | | |
| <b>Шаг 2. Вход в диэлектрик в системе $K'$.</b>\ | | <b>Шаг 2. Вход в диэлектрик в системе $K'$.</b>\ |
| В системе $K'$ граница диэлектрика неподвижна. При прохождении через неподвижную границу сред частота волны не изменяется: | | В системе $K'$ граница диэлектрика неподвижна. При прохождении через неподвижную границу сред частота волны не изменяется: |
| $$ \nu'_{in} = \nu' $$ | | $$ \nu'_{in} = \nu' $$ |
| Волна продолжает распространяться в том же направлении (вдоль $+x$). Фазовая скорость в диэлектрике равна $c/n$, поэтому волновое число внутри равно: | | Волна продолжает распространяться в том же направлении (вдоль $+x$). Фазовая скорость в диэлектрике равна $c/n$, поэтому волновое число внутри равно: |
| $$ k'_{in} = \frac{\nu'_{in}}{c/n} = n \frac{\nu'}{c} $$ | | $$ k'_{in} = \frac{\nu'_{in}}{c/n} = n \frac{\nu'}{c} $$ |
| | | |
| <b>Шаг 3. Возврат в лабораторную систему $K$.</b>\ | | <b>Шаг 3. Возврат в лабораторную систему $K$.</b>\ |
| Скорость системы $K'$ относительно $K$ по-прежнему $V = -\beta c$. | | Скорость системы $K'$ относительно $K$ по-прежнему $V = -\beta c$. |
| Применяем обратное преобразование Лоренца для частоты прошедшей волны: | | Применяем обратное преобразование Лоренца для частоты прошедшей волны: |
| $$ \nu_{in} = \gamma (\nu'_{in} + V k'_{in}) = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \left( \nu' + (-\beta c) \left(n \frac{\nu'}{c}\right) \right) $$ | | $$ \nu_{in} = \gamma (\nu'_{in} + V k'_{in}) = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \left( \nu' + (-\beta c) \left(n \frac{\nu'}{c}\right) \right) $$ |
| $$ \nu_{in} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \nu' (1 - n\beta) $$ | | $$ \nu_{in} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \nu' (1 - n\beta) $$ |
| Подставляем выражение для $\nu'$: | | Подставляем выражение для $\nu'$: |
| $$ \nu_{in} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \left( \nu \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}} \right) (1 - n\beta) = \nu \frac{1 - n\beta}{1 - \beta} $$ | | $$ \nu_{in} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \left( \nu \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}} \right) (1 - n\beta) = \nu \frac{1 - n\beta}{1 - \beta} $$ |
| Найдем разницу частот $\Delta \nu$ плоской волны вне ($\nu$) и внутри ($\nu_{in}$) диэлектрика: | | Найдем разницу частот $\Delta \nu$ плоской волны вне ($\nu$) и внутри ($\nu_{in}$) диэлектрика: |
| $$ \Delta \nu = \nu - \nu_{in} = \nu - \nu \frac{1 - n\beta}{1 - \beta} = \nu \frac{1 - \beta - 1 + n\beta}{1 - \beta} = \nu \beta \frac{n - 1}{1 - \beta} $$ | | $$ \Delta \nu = \nu - \nu_{in} = \nu - \nu \frac{1 - n\beta}{1 - \beta} = \nu \frac{1 - \beta - 1 + n\beta}{1 - \beta} = \nu \beta \frac{n - 1}{1 - \beta} $$ |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| $14.2.5$. Увеличится на $\Delta \nu = \nu \frac{2\beta}{1-\beta}$.\ | | $14.2.5$. Увеличится на $\Delta \nu = \nu \frac{2\beta}{1-\beta}$.\ |
| $14.2.6$. Разница частот $\Delta \nu = \nu \beta \frac{n - 1}{1 - \beta}$. | | $14.2.6$. Разница частот $\Delta \nu = \nu \beta \frac{n - 1}{1 - \beta}$. |
