Задача 14.2.15

Решение

Главная идея метода заключается в том, что фаза плоской волны является лоренц-инвариантом. Из этого следует, что частота и волновое число преобразуются при переходе между инерциальными системами отсчета по тем же формулам преобразований Лоренца, что и время и координата .

Алгоритм решения для обеих задач един:

1. Переход из лабораторной системы () в систему отсчета покоя движущегося объекта ().
2. Анализ процесса (отражение или преломление) в системе , где граница неподвижна.
3. Обратный переход из в лабораторную систему для измененной волны.

Решение задачи 14.2.5 (Отражение от зеркала)

Пусть падающая волна летит вдоль оси . Ее частота , волновое число . Зеркало движется навстречу волне со скоростью . Проекция скорости зеркала в системе равна .

Шаг 1. Переход в систему зеркала .
В системе покоя зеркала частота падающей волны определяется формулой релятивистского эффекта Доплера для движения навстречу (что прямо следует из преобразований Лоренца):

Шаг 2. Отражение в системе .
В системе зеркало неподвижно. При нормальном отражении от неподвижного идеального зеркала частота волны сохраняется, а направление распространения меняется на противоположное.
Отраженная частота: .
Отраженное волновое число (с учетом направления вдоль оси ): .

Шаг 3. Возврат в лабораторную систему .
Система (зеркало) движется относительно со скоростью .
Применяем обратное преобразование Лоренца для частоты отраженной волны:


Подставляем из Шага 1:

Изменение частоты волны :

Решение задачи 14.2.6 (Волна внутри диэлектрика)

Шаг 1. Переход в систему диэлектрика .
Аналогично первой задаче, в системе покоя диэлектрика частота падающей волны равна:

Шаг 2. Вход в диэлектрик в системе .
В системе граница диэлектрика неподвижна. При прохождении через неподвижную границу сред частота волны не изменяется:

Волна продолжает распространяться в том же направлении (вдоль ). Фазовая скорость в диэлектрике равна , поэтому волновое число внутри равно:

Шаг 3. Возврат в лабораторную систему .
Скорость системы относительно по-прежнему .
Применяем обратное преобразование Лоренца для частоты прошедшей волны:


Подставляем выражение для :

Найдем разницу частот плоской волны вне () и внутри () диэлектрика: