| @@ -1,19 +1,36 @@ |
| | − | ### Условие: |
| | + | ### Условие |
| | | |
| | − | $1.1.19.$ На какой угол изменится направление скорости шара после двух упругих ударов о стенки, угол между которыми равен $\\alpha$? Как полетит шар, если угол $\\alpha = \\pi /2$? Движение происходит в плоскости, перпендикулярной стенкам. При упругом ударе о гладкую неподвижную стенку угол падения шара равен углу отражения. |
| | + | $1.1.19.$ На какой угол изменится направление скорости шара после двух упругих ударов о стенки, угол между которыми равен $\alpha$? Как полетит шар, если угол $\alpha = \pi/2$? Движение происходит в плоскости, перпендикулярной стенкам. При упругом ударе о гладкую неподвижную стенку угол падения шара равен углу отражения. |
| | | |
| | − |  |
| | + |  |
| | | |
| | − | ### Решение: |
| | + | ### Решение |
| | | |
| | − | При упругом падении на горизонтальную плоскость, угол падения равен углу отражения. |
| | + |  |
| | | |
| | − |  |
| | + | <b>1. Угол между нормалями</b><br> |
| | + | Рассмотрим четырехугольник, образованный вершиной клина (с углом $\alpha$), двумя точками удара шарика о стенки и точкой пересечения проведенных к ним перпендикуляров (нормалей). Поскольку перпендикуляры образуют со стенками углы 90°, сумма двух оставшихся углов этого четырехугольника равна 180°. Следовательно, угол между нормалями при их пересечении равен $180^\circ - \alpha$. |
| | | |
| | − | Таким образом, направление скорости шара после двух упругих ударов изменится на угол $\\beta = 2\\alpha$ |
| | + | <b>2. Связь углов падения и угла клина</b><br> |
| | + | Обратим внимание на треугольник, который образует траектория шарика (красная линия) между двумя соударениями и две нормали. |
| | + | Внутренние углы этого треугольника, прилегающие к нормалям, — это углы падения $\beta$ и $\gamma$. Третий угол — это найденный угол пересечения нормалей $180^\circ - \alpha$. |
| | + | Поскольку сумма углов любого треугольника равна 180°, запишем уравнение: |
| | + | $$ \beta + \gamma + (180^\circ - \alpha) = 180^\circ $$ |
| | + | Из этого напрямую следует ключевое равенство: |
| | + | $$ \beta + \gamma = \alpha $$ |
| | | |
| | − | При $\\alpha =\\pi /2$, $\\beta = \\pi$, т.е. мяч полетит в противоположном направлении. |
| | + | <b>3. Изменение направления скорости</b><br> |
| | + | При каждом упругом отражении вектор скорости поворачивается на угол $180^\circ - 2\theta$, где $\theta$ — угол падения относительно нормали. |
| | + | Так как шарик совершает два последовательных удара, суммарный угол поворота вектора скорости $\Delta$ составит: |
| | + | $$ \Delta = (180^\circ - 2\beta) + (180^\circ - 2\gamma) = 360^\circ - 2(\beta + \gamma) $$ |
| | + | Подставляя сюда наше равенство $\beta + \gamma = \alpha$, получаем: |
| | + | $$ \Delta = 360^\circ - 2\alpha $$ |
| | + | Геометрически поворот вектора на угол $360^\circ - 2\alpha$ означает, что итоговый угол между начальным и конечным направлениями равен в точности $2\alpha$ (отмечен на рисунке четверной голубой дугой). |
| | | |
| | − | #### Ответ: $\\beta = 2\\alpha$. В направлении, противоположном начальному |
| | + | <i>При $\alpha = \pi/2$:</i><br> |
| | + | Направление изменится на $2 \cdot (\pi/2) = \pi$, то есть мяч полетит строго в противоположном направлении. |
| | + | |
| | + | #### Ответ |
| | + | На угол $2\alpha$. В направлении, противоположном начальному. |
| | | |
| | | |
