Решение

Пункт а.

Пусть $\sigma_1$ — поверхностная плотность заряда, индуцированного на внутренней поверхности верхней пластины, а $\sigma_2$ — на нижней. Внешние поверхности заземленных пластин зарядов не несут, так как поле вне системы отсутствует. По теореме Гаусса для поверхности, охватывающей все три заряженные плоскости, суммарный заряд равен нулю:
$$\sigma_1 + \sigma + \sigma_2 = 0$$

Выберем ось $z$, направленную от верхней пластины к нижней.

• Напряженность поля под верхней пластиной: $E_1 = \frac{\sigma_1}{\varepsilon_0}$

• Напряженность поля над нижней пластиной: $E_2 = -\frac{\sigma_2}{\varepsilon_0}$

Так как обе пластины заземлены, разность потенциалов между ними равна нулю.
$$E_1 a + E_2 b = 0 \implies \frac{\sigma_1}{\varepsilon_0} a - \frac{\sigma_2}{\varepsilon_0} b = 0$$
$$\sigma_1 a = \sigma_2 b$$

Решая систему из двух уравнений ($\sigma_1 + \sigma_2 = -\sigma$ и $\sigma_1 a = \sigma_2 b$), находим плотности индуцированных зарядов:
$$\sigma_1 = -\sigma \frac{b}{a+b}$$
$$\sigma_2 = -\sigma \frac{a}{a+b}$$

Модули напряженности электрического поля вблизи пластин:
$$|E_1| = \frac{|\sigma_1|}{\varepsilon_0} = \frac{\sigma b}{\varepsilon_0(a+b)}$$
$$|E_2| = \frac{|\sigma_2|}{\varepsilon_0} = \frac{\sigma a}{\varepsilon_0(a+b)}$$

Пункт б.

Доказательство:

В силу того, что линейные размеры пластин много больше расстояний $a$ и $b$, систему можно считать бесконечной. Если мы сместим точечный заряд $q$ горизонтально на любое расстояние, распределение индуцированного заряда на пластинах сместится вместе с ним, но полный интегральный заряд на каждой бесконечной пластине останется неизменным.

Согласно принципу суперпозиции, электрическое поле и индуцированные заряды от системы точечных зарядов равны сумме полей и зарядов от каждого заряда в отдельности. Разобьем заряд $q$ на множество элементарных зарядов $\Delta q_i$ и произвольно распределим их в плоскости на заданных расстояниях $a$ и $b$.
Поскольку доля индуцируемого на пластине заряда зависит только от поперечных координат (расстояний $a$ и $b$) и не зависит от продольного смещения, каждый элемент $\Delta q_i$ индуцирует на верхней пластине заряд $\Delta q_{1i} = k \Delta q_i$, где $k$ — постоянный коэффициент.
Суммируя по всем элементам, получаем:
$$Q_1 = \sum \Delta q_{1i} = k \sum \Delta q_i = k q$$
Таким образом, полный индуцированный заряд зависит только от суммарного распределяемого заряда $q$ и расстояний до пластин, но не от характера его распределения в плоскости.

Определение зарядов:
Так как форма распределения не важна, равномерно «размажем» заряд $q$ по огромной площади $S$ в виде тонкой пленки из пункта «а». Поверхностная плотность заряда этой пленки будет равна $\sigma = \frac{q}{S}$.
Полные индуцированные заряды на верхней и нижней пластинах соответственно равны $q_1 = \sigma_1 S$ и $q_2 = \sigma_2 S$.
Используя результаты пункта «а», умножим плотности $\sigma_1$ и $\sigma_2$ на площадь $S$:
$$q_1 = \left( -\frac{q}{S} \frac{b}{a+b} \right) S = -q \frac{b}{a+b}$$
$$q_2 = \left( -\frac{q}{S} \frac{a}{a+b} \right) S = -q \frac{a}{a+b}$$