| @@ -1,36 +1,60 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $6.3.15.$ a) Между двумя заземленными металлическими пластинами находится одинаковая с ним по размерам тонкая пленка с поверхностной плотностью заряда σ. Расстояние от нее до верхней пластины a, до нижней b (a и b много меньше линейных размеров пластин). Найдите напряженность электрического поля вблизи верхней и нижней пластин. Определите поверхностную плотность заряда, индуцируемого на них. |
| | + | 6.3.15. а. Между двумя заземленными металлическими пластинами находится одинаковая с ним по размерам тонкая пленка с поверхностной плотностью заряда $\sigma$. Расстояние от нее до верхней пластины $a$, до нижней $b$ ($a$ и $b$ много меньше линейных размеров пластин). Найдите напряженность электрического поля вблизи верхней и нижней пластин. Определите поверхностную плотность заряда, индуцируемого на них. |
| | | |
| | + | б*. Между заземленными параллельными пластинами на расстоянии $a$ и $b$ от них находится заряд $q$. Линейные размеры пластин много больше расстояния между ними. Докажите, что заряды, индуцируемые на заземленных пластинах, не изменятся, если заряд $q$ распределить по плоскости, лежащей между пластинами на том же расстоянии, что и заряд $q$. Определите заряд пластин. |
| | + | |
| | + |  |
| | + | |
| | | ### Решение |
| | | |
| | − | $a,b \ll \sqrt |
| | − | {S}$ |
| | + | Пункт а. |
| | | |
| | − | т.к. это металл: |
| | − | $\sigma_1+\sigma_2+\sigma=0$, потому что он электрический нейтрален |
| | + | Пусть $\sigma_1$ — поверхностная плотность заряда, индуцированного на внутренней поверхности верхней пластины, а $\sigma_2$ — на нижней. Внешние поверхности заземленных пластин зарядов не несут, так как поле вне системы отсутствует. По теореме Гаусса для поверхности, охватывающей все три заряженные плоскости, суммарный заряд равен нулю: |
| | + | $$ \sigma_1 + \sigma + \sigma_2 = 0 $$ |
| | | |
| | − | $\phi_в=\phi_н=0$, ведь они заземлены |
| | + | Выберем ось $z$, направленную от верхней пластины к нижней. |
| | | |
| | − | положительным направлением выбираем вверх |
| | + | - Напряженность поля под верхней пластиной: $E_1 = \frac{\sigma_1}{\varepsilon_0}$ |
| | | |
| | − | $E_в=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}+\frac{\sigma_1}{\epsilon_0}-\frac{\sigma_2}{\epsilon_0}$ |
| | + | - Напряженность поля над нижней пластиной: $E_2 = -\frac{\sigma_2}{\varepsilon_0}$ |
| | | |
| | − | $E_н=\frac{\sigma_1}{\epsilon_0}-\frac{\sigma_2}{\epsilon_0}-\frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ |
| | + | Так как обе пластины заземлены, разность потенциалов между ними равна нулю. |
| | + | $$ E_1 a + E_2 b = 0 \implies \frac{\sigma_1}{\varepsilon_0} a - \frac{\sigma_2}{\varepsilon_0} b = 0 $$ |
| | + | $$ \sigma_1 a = \sigma_2 b $$ |
| | | |
| | − | $\sigma_1=-\sigma-\sigma_2$ |
| | + | Решая систему из двух уравнений ($\sigma_1 + \sigma_2 = -\sigma$ и $\sigma_1 a = \sigma_2 b$), находим плотности индуцированных зарядов: |
| | + | $$ \sigma_1 = -\sigma \frac{b}{a+b} $$ |
| | + | $$ \sigma_2 = -\sigma \frac{a}{a+b} $$ |
| | | |
| | − | $E_вa+E_нb=0$ |
| | + | Модули напряженности электрического поля вблизи пластин: |
| | + | $$ |E_1| = \frac{|\sigma_1|}{\varepsilon_0} = \frac{\sigma b}{\varepsilon_0(a+b)} $$ |
| | + | $$ |E_2| = \frac{|\sigma_2|}{\varepsilon_0} = \frac{\sigma a}{\varepsilon_0(a+b)} $$ |
| | | |
| | − | и так выходят ответы: |
| | + | Пункт б. |
| | | |
| | + | <b>Доказательство:</b> |
| | | |
| | − | #### Ответ |
| | − | $\boxed{\sigma_2=-\frac{\sigma b}{a+b}}$ |
| | + | В силу того, что линейные размеры пластин много больше расстояний $a$ и $b$, систему можно считать бесконечной. Если мы сместим точечный заряд $q$ горизонтально на любое расстояние, распределение индуцированного заряда на пластинах сместится вместе с ним, но полный интегральный заряд на каждой бесконечной пластине останется неизменным. |
| | | |
| | − | $\boxed{\sigma_1=-\frac{\sigma a}{a+b}}$ |
| | + | Согласно принципу суперпозиции, электрическое поле и индуцированные заряды от системы точечных зарядов равны сумме полей и зарядов от каждого заряда в отдельности. Разобьем заряд $q$ на множество элементарных зарядов $\Delta q_i$ и произвольно распределим их в плоскости на заданных расстояниях $a$ и $b$. |
| | + | Поскольку доля индуцируемого на пластине заряда зависит только от поперечных координат (расстояний $a$ и $b$) и не зависит от продольного смещения, каждый элемент $\Delta q_i$ индуцирует на верхней пластине заряд $\Delta q_{1i} = k \Delta q_i$, где $k$ — постоянный коэффициент. |
| | + | Суммируя по всем элементам, получаем: |
| | + | $$ Q_1 = \sum \Delta q_{1i} = k \sum \Delta q_i = k q $$ |
| | + | Таким образом, полный индуцированный заряд зависит только от суммарного распределяемого заряда $q$ и расстояний до пластин, но не от характера его распределения в плоскости. |
| | | |
| | − | $\boxed{E_в=\frac{\sigma b}{\epsilon_0 (a+b)}}$ |
| | + | <b>Определение зарядов:</b>\ |
| | + | Так как форма распределения не важна, равномерно «размажем» заряд $q$ по огромной площади $S$ в виде тонкой пленки из пункта «а». Поверхностная плотность заряда этой пленки будет равна $\sigma = \frac{q}{S}$. |
| | + | Полные индуцированные заряды на верхней и нижней пластинах соответственно равны $q_1 = \sigma_1 S$ и $q_2 = \sigma_2 S$. |
| | + | Используя результаты пункта «а», умножим плотности $\sigma_1$ и $\sigma_2$ на площадь $S$: |
| | + | $$ q_1 = \left( -\frac{q}{S} \frac{b}{a+b} \right) S = -q \frac{b}{a+b} $$ |
| | + | $$ q_2 = \left( -\frac{q}{S} \frac{a}{a+b} \right) S = -q \frac{a}{a+b} $$ |
| | | |
| | − | $\boxed{E_н=\frac{\sigma a}{\epsilon_0 (a+b)}}$ |
| | + | --- |
| | | |
| | + | ### Ответ |
| | + | |
| | + | а. Напряженности полей: $E_1 = \frac{\sigma b}{\varepsilon_0(a+b)}$, $E_2 = \frac{\sigma a}{\varepsilon_0(a+b)}$;\ |
| | + | Плотности зарядов: $\sigma_1 = -\sigma \frac{b}{a+b}$, $\sigma_2 = -\sigma \frac{a}{a+b}$. |
| | + | |
| | + | б. Заряды пластин: $q_1 = -q \frac{b}{a+b}$ (верхней), $q_2 = -q \frac{a}{a+b}$ (нижней). |
