Решение

Немного истории. В августе 1931 г. К. Дэвиссон и К. Калбик из Bell Labs сообщили, что отверстие в заряженной пластине между двумя однородными полями собирает электроны как линза [1]. Через год они поправили множитель, для круглого отверстия $f = 4V/(E_2 - E_1)$ [2]. Это формула (12) ниже, а прежнее $2V$ верно для щели (14). Сам Дэвиссон тогда уже открыл дифракцию электронов и получил за неё Нобелевскую премию 1937 г.

В те же месяцы М. Кнолль и Э. Руска в высоковольтной лаборатории Высшей технической школы Берлина строили геометрическую электронную оптику [3, 4]. В примечании при корректуре они ссылаются на заметку Дэвиссона и Калбика [3, с. 625], а во второй части Руска описывает ровно эффект этой задачи, говоря о сетчатых электродах [4, с. 654]

Es werden daher Strahlen, die in großer Nähe der Drähte durch die Netzelektroden hindurchgehen, stärker abgelenkt, als Strahlen, die das Netz mehr in der Mitte einer Masche passieren.

то есть лучи у нитей отклоняются сильнее, чем в середине ячейки. Это и есть (11). Их первый микроскоп собирал пучок магнитными катушками по идее Х. Буша, а не электростатическим полем заряженных нитей, как здесь. За электронную оптику и электронный микроскоп Руска получил Нобелевскую премию по физике 1986 г., через 55 лет после этих работ [5].

Настоящая сетка сложнее заряженных нитей. Рид с соавторами посчитали сетки из круглых проволок и полосок и нашли, что эффективный потенциал плоскости сетки отличается от потенциала самих проволок, и это меняет поле далеко по обе стороны [6, 7]. Потенциал решётки параллельных линейных зарядов, одного из двух семейств нитей в (5), (6), выписан у них в приложении [6], а расфокусировку пучка ячейками разбирают Уильямс, Рид и Боуринг [8]. Сегодня линза (12) стоит в каждой ячейке сетки широкоугольных электростатических линз фотоэлектронных спектрометров [9]. Сетка в пучке исправляет сферическую аберрацию, как предложил О. Шерцер [10], эллипсоидальная сетка принимает электроны до $\pm 60^\circ$, а платой оказывается размытие от каждой ячейки, при косом падении с разными фокусами в касательной и сагиттальной плоскостях [9].

Здесь электроны летят в вакууме независимо, и период $d$ им задаёт сетка. В чистом графене электроны сталкиваются друг с другом и текут как вязкая жидкость, и ток может сам выбрать себе период. Выше критической скорости дрейфа однородное течение неустойчиво и распадается на бегущие волны, электронный аналог волн Капицы в стекающей плёнке, которые излучают на частоте, равной скорости дрейфа, делённой на период волны [11].

Расчёт. Работаем в СИ. Ось $z$ по скорости электронов (летят из поля $E_1$ в поле $E_2$), сетка в плоскости $z=0$, нити вдоль $y$ при $x = jd$, нити вдоль $x$ при $y = id$. Ячейка $0 \le x < d$, $0 \le y < d$.

$E_1$, $E_2$ считаем положительными, если поле разгоняет электрон (направлено против $\vec v$, как на рисунке)

$$E_z(\mp\infty) = -E_{1,2} \tag{1}$$

Поле одной нити

$$E(r) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} \tag{2}$$

Нити вдоль $x$ дают только $E_y$ и $E_z$, значит $E_x$ создают только нити вдоль $y$. Складываем все нити

$$E_x = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\sum_{j=-\infty}^{\infty}\frac{x - jd}{(x - jd)^2 + z^2} \tag{3}$$

$$E_z = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\sum_{j=-\infty}^{\infty}\left[\frac{z}{(x - jd)^2 + z^2} + \frac{z}{(y - jd)^2 + z^2}\right] - \frac{E_1 + E_2}{2} \tag{4}$$

Сумма. $w = (x + iz)/d$

$$\frac{x - jd}{(x - jd)^2 + z^2} = \frac{1}{d}\mathrm{Re}\frac{1}{w - j}$$

$$\frac{z}{(x - jd)^2 + z^2} = -\frac{1}{d}\mathrm{Im}\frac{1}{w - j}$$

$$\sum_{j=-\infty}^{\infty}\frac{1}{w - j} = \pi \mathrm{ctg}(\pi w)$$

$$\mathrm{ctg}(a + ib) = \frac{\sin 2a - i \mathrm{sh} 2b}{\mathrm{ch} 2b - \cos 2a}$$

$$E_x = \frac{\lambda}{2\varepsilon_0 d} \cdot \frac{\sin\frac{2\pi x}{d}}{\mathrm{ch}\frac{2\pi z}{d} - \cos\frac{2\pi x}{d}} \tag{5}$$

$$E_z = \frac{\lambda}{2\varepsilon_0 d}\left[\frac{\mathrm{sh}\frac{2\pi z}{d}}{\mathrm{ch}\frac{2\pi z}{d} - \cos\frac{2\pi x}{d}} + \frac{\mathrm{sh}\frac{2\pi z}{d}}{\mathrm{ch}\frac{2\pi z}{d} - \cos\frac{2\pi y}{d}}\right] - \frac{E_1 + E_2}{2} \tag{6}$$

$z \to \pm\infty$ в (6) и (1)

$$\pm\frac{\lambda}{\varepsilon_0 d} - \frac{E_1 + E_2}{2} = -E_{2,1} \rightarrow \frac{2\lambda}{\varepsilon_0 d} = E_1 - E_2 \tag{7}$$

Толчок. В ячейке $v \approx \mathrm{const}$, $dt = dz/v$

$$\Delta v_x = -\frac{e}{m}\int E_x dt = -\frac{e}{mv}\int_{-\infty}^{\infty} E_x dz \tag{8}$$

Интеграл. $\alpha = 2\pi x/d$, $t = e^{2\pi z/d}$ $\rightarrow$ $dz = \frac{d}{2\pi}\frac{dt}{t}$, $\mathrm{ch}\frac{2\pi z}{d} = \frac{1}{2}\left(t + \frac{1}{t}\right)$

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dz}{\mathrm{ch}\frac{2\pi z}{d} - \cos\alpha} = \frac{d}{\pi}\int_0^{\infty}\frac{dt}{t^2 - 2t\cos\alpha + 1} = \frac{d}{\pi}\int_0^{\infty}\frac{dt}{(t - \cos\alpha)^2 + \sin^2\alpha}$$

$$= \frac{d}{\pi\sin\alpha}\left[\frac{\pi}{2} + \mathrm{arctg}(\mathrm{ctg}\alpha)\right] = \frac{d}{\pi\sin\alpha}\left[\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} - \alpha\right] = \frac{d(\pi - \alpha)}{\pi\sin\alpha} \tag{9}$$

при $0 < \alpha < \pi$, для $\pi < \alpha < 2\pi$ то же самое заменой $\alpha \to 2\pi - \alpha$. Поставим (5) и (9) в (8), $\xi = x - d/2$

$$\int_{-\infty}^{\infty} E_x dz = \frac{\lambda}{2\varepsilon_0 d} \sin\alpha \cdot \frac{d(\pi - \alpha)}{\pi\sin\alpha} = \frac{\lambda}{\varepsilon_0}\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{d}\right) = -\frac{\lambda}{\varepsilon_0 d}\xi \tag{10}$$

$\sin\alpha$ сократился, $y$ не входит $\rightarrow$ толчок линеен по $\xi$ во всей ячейке, а не только у оси. С (7)

$$\Delta v_x = -\frac{e(E_2 - E_1)}{2mv}\xi \tag{11}$$

$\Delta v_y$ так же, с $\eta = y - d/2$ вместо $\xi$.

При $E_2 > E_1$ каждый электрон повернул к оси ячейки со скоростью $\propto$ расстоянию до неё $\rightarrow$ все сходятся в одну точку.

Без поля за сеткой, $mv^2 = 2eV$

$$f_0 = \frac{v\xi}{|\Delta v_x|} = \frac{2mv^2}{e(E_2 - E_1)} = \frac{4V}{E_2 - E_1} \tag{12}$$

За сеткой $E_2$ разгоняет вдоль $z$, $a = eE_2/m$, $v_x = \mathrm{const}$. До оси время $\tau = \xi/|\Delta v_x| = f_0/v$

$$f = v\tau + \frac{eE_2\tau^2}{2m} = f_0 + \frac{eE_2}{2mv^2}f_0^2 = f_0\left(1 + \frac{E_2 f_0}{4V}\right) \tag{13}$$

$$f = \frac{4V}{E_2 - E_1}\cdot\frac{2E_2 - E_1}{E_2 - E_1} = \frac{4V(2E_2 - E_1)}{(E_2 - E_1)^2}$$

Если оставить только нити вдоль $y$ (щель), весь скачок (7) приходится на них, $\lambda/(\varepsilon_0 d) = E_1 - E_2$, толчок (11) вдвое больше

$$f_0 = \frac{2V}{E_2 - E_1} \tag{14}$$

Это первая формула Дэвиссона и Калбика [1]. В квадратной ячейке скачок делится поровну между двумя семействами нитей, отсюда $4V$ в (12).

Для особо внимательных отметим, что $v$ в (8) постоянна, пока $eE_{1,2}d \ll eV$, т.е. $f \gg d$. Рис. 1 ниже показывает поле (5), (6), нарисованное так же, как в [12], рис. 2 считает в нём траектории без этого приближения.