Решение

Введём обозначения

$$\boldsymbol{\beta}=\frac{\mathbf v}{c},\qquad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.$$

Составляющие электрического и магнитного полей, параллельные и перпендикулярные направлению $\boldsymbol{\beta}$, обозначим соответственно индексами $\parallel$ и $\perp$.

По условию преобразования полей имеют вид

$$\mathbf E'=\mathbf E_{\parallel}+\gamma\left(\mathbf E_{\perp}-[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B]\right),$$

$$\mathbf B'=\mathbf B_{\parallel}+\gamma\left(\mathbf B_{\perp}+[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E]\right).$$

а) Проверка обратимости преобразований

Сначала преобразуем поля при движении со скоростью $c\boldsymbol{\beta}$.

Параллельные составляющие не изменяются:

$$\mathbf E'_{\parallel}=\mathbf E_{\parallel},\qquad \mathbf B'_{\parallel}=\mathbf B_{\parallel}.$$

Поперечные составляющие равны

$$\mathbf E'_{\perp}=\gamma\left(\mathbf E_{\perp}-[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B]\right),$$

$$\mathbf B'_{\perp}=\gamma\left(\mathbf B_{\perp}+[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E]\right).$$

Теперь совершим обратное преобразование, то есть сообщим состоянию скорость $-c\boldsymbol{\beta}$.

Для электрического поля получаем

$$\mathbf E''_{\perp}=\gamma\left(\mathbf E'_{\perp}+[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B']\right).$$

Поскольку параллельная составляющая $\mathbf B'_{\parallel}$ не даёт вклада в векторное произведение,

$$[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B']=\gamma\left([\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B_{\perp}]+[\boldsymbol{\beta}\times[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E]]\right).$$

Следовательно,

$$\mathbf E''_{\perp}=\gamma^2\left(\mathbf E_{\perp}-[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B_{\perp}]+[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B_{\perp}]+[\boldsymbol{\beta}\times[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E]]\right).$$

Слагаемые с $\mathbf B_{\perp}$ сокращаются:

$$\mathbf E''_{\perp}=\gamma^2\left(\mathbf E_{\perp}+[\boldsymbol{\beta}\times[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E]]\right).$$

Используем тождество

$$[\mathbf a\times[\mathbf a\times\mathbf b]]=\mathbf a(\mathbf a\cdot\mathbf b)-a^2\mathbf b.$$

Так как вектор $\mathbf E_{\perp}$ перпендикулярен $\boldsymbol{\beta}$,

$$[\boldsymbol{\beta}\times[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E]]=-\beta^2\mathbf E_{\perp}.$$

Поэтому

$$\mathbf E''_{\perp}=\gamma^2(1-\beta^2)\mathbf E_{\perp}.$$

Но

$$\gamma^2(1-\beta^2)=1,$$

следовательно,

$$\mathbf E''_{\perp}=\mathbf E_{\perp}.$$

Параллельная составляющая при обоих преобразованиях остаётся неизменной:

$$\mathbf E''_{\parallel}=\mathbf E_{\parallel}.$$

Таким образом,

$$\boxed{\mathbf E''=\mathbf E}.$$

Аналогично для магнитного поля:

$$\mathbf B''_{\perp}=\gamma\left(\mathbf B'_{\perp}-[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E']\right),$$

откуда после подстановки выражений для $\mathbf B'_{\perp}$ и $\mathbf E'$ получаем

$$\mathbf B''_{\perp}=\gamma^2\left(\mathbf B_{\perp}+[\boldsymbol{\beta}\times[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B]]\right).$$

Следовательно,

$$\mathbf B''_{\perp}=\gamma^2(1-\beta^2)\mathbf B_{\perp}=\mathbf B_{\perp}.$$

Кроме того,

$$\mathbf B''_{\parallel}=\mathbf B_{\parallel}.$$

Поэтому

$$\boxed{\mathbf B''=\mathbf B}.$$

Таким образом, два последовательных преобразования со скоростями $c\boldsymbol{\beta}$ и $-c\boldsymbol{\beta}$ действительно возвращают исходные электрическое и магнитное поля.

в) Применение формул преобразования

Задача 14.3.1

В собственной системе отсчёта конденсатора магнитного поля нет:

$$\mathbf B=0.$$

Конденсатор движется параллельно пластинам, тогда как электрическое поле направлено перпендикулярно им. Следовательно,

$$\mathbf E\perp\boldsymbol{\beta}.$$

Поэтому

$$\mathbf E_{\parallel}=0,\qquad \mathbf E_{\perp}=\mathbf E.$$

Формула преобразования электрического поля принимает вид

$$\mathbf E'=\gamma\mathbf E.$$

Следовательно,

$$\boxed{E'=\gamma E}.$$

Из-за лоренцева сокращения размеры пластин в направлении движения уменьшаются в $\gamma$ раз. Заряд каждой пластины остаётся неизменным, поэтому её поверхностная плотность заряда возрастает в $\gamma$ раз:

$$\boxed{\sigma'=\gamma\sigma}.$$

Магнитное поле в движущейся системе равно

$$\mathbf B'=\gamma[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E].$$

Так как $\mathbf E'=\gamma\mathbf E$,

$$\boxed{\mathbf B'=[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E']}.$$

По модулю

$$\boxed{B'=\beta E'=\gamma\beta E}.$$

Итак,

$$\boxed{\sigma'=\gamma\sigma,\qquad E'=\gamma E,\qquad B'=\beta E'}.$$

Задача 14.3.2

Теперь скорость конденсатора направлена под углом $\alpha$ к плоскости пластин.

Электрическое поле перпендикулярно пластинам. Поэтому угол между $\mathbf E$ и направлением движения равен $90^\circ-\alpha$.

Разложим поле на составляющие относительно $\boldsymbol{\beta}$:

$$E_{\parallel}=E\sin\alpha,$$

$$E_{\perp}=E\cos\alpha.$$

Параллельная составляющая при преобразовании не изменяется:

$$\boxed{E'_{\parallel}=E\sin\alpha}.$$

Поперечная составляющая увеличивается в $\gamma$ раз:

$$\boxed{E'_{\perp}=\gamma E\cos\alpha}.$$

Следовательно, полный модуль электрического поля равен

$$E'=\sqrt{E_{\parallel}'^{\,2}+E_{\perp}'^{\,2}}.$$

Поэтому

$$\boxed{E'=E\sqrt{\sin^2\alpha+\gamma^2\cos^2\alpha}}.$$

Магнитное поле возникает вследствие преобразования электрического поля:

$$\mathbf B'=\gamma[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E].$$

По модулю

$$\boxed{B'=\gamma\beta E\cos\alpha}.$$

Так как

$$E'_{\perp}=\gamma E\cos\alpha,$$

имеем

$$\boxed{B'=\beta E'_{\perp}}.$$

В векторной форме связь особенно проста:

$$\boxed{\mathbf B'=[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E']}.$$

Если требуется также поверхностная плотность заряда, то площадь движущейся пластины изменяется по закону

$$S'=S\sqrt{1-\beta^2\cos^2\alpha}.$$

Поскольку заряд пластины инвариантен,

$$\boxed{\sigma'=\frac{\sigma}{\sqrt{1-\beta^2\cos^2\alpha}}}.$$

При $\alpha=0$ получаем $\sigma'=\gamma\sigma$, как в задаче 14.3.1, а при $\alpha=90^\circ$ площадь пластины не испытывает лоренцева сокращения и $\sigma'=\sigma$.

Задача 14.3.3

Пусть $\rho$ — заряд на единицу длины неподвижной нити.

В системе, где нить неподвижна, магнитного поля нет, а электрическое поле в системе СГС равно

$$E_r=\frac{2\rho}{r},$$

где $r$ — расстояние до нити.

Нить движется вдоль самой себя, поэтому электрическое поле перпендикулярно скорости:

$$\mathbf E\perp\boldsymbol{\beta}.$$

Следовательно,

$$E'_r=\gamma E_r.$$

Отсюда

$$\boxed{E'_r=\frac{2\gamma\rho}{r}}.$$

Тот же результат можно понять через лоренцево сокращение: длина движущегося участка нити уменьшается в $\gamma$ раз, поэтому линейная плотность заряда возрастает:

$$\rho'=\gamma\rho.$$

Тогда

$$E'_r=\frac{2\rho'}{r}.$$

Магнитное поле равно

$$\mathbf B'=\gamma[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E].$$

Поэтому

$$\boxed{B'=\beta E'_r}.$$

Следовательно,

$$\boxed{B'=\frac{2\gamma\beta\rho}{r}}.$$

Итак,

$$\boxed{\rho'=\gamma\rho,\qquad E'_r=\frac{2\gamma\rho}{r},\qquad B'=\frac{2\gamma\beta\rho}{r}}.$$

Задача 14.3.5

В исходной системе отсчёта прямой проводник неподвижен и электрически нейтрален.

Пусть объёмные плотности зарядов ионов и электронов равны

$$\rho_i=\rho,\qquad \rho_e=-\rho.$$

Ионы неподвижны, а электроны движутся вдоль проводника со скоростью $-\beta c$.

Теперь рассмотрим состояние, в котором проводник движется со скоростью

$$\beta_1c,$$

где

$$\beta_1=k\beta.$$

Введём

$$\gamma_1=\frac{1}{\sqrt{1-\beta_1^2}}.$$

Плотность положительных ионов

Ионы в исходной системе неподвижны. В новой системе они движутся со скоростью $\beta_1c$, поэтому расстояния между ними вдоль проводника сокращаются в $\gamma_1$ раз.

Следовательно,

$$\boxed{\rho_i'=\gamma_1\rho}.$$

Плотность электронов

В исходной системе электроны имеют плотность $-\rho$ и движутся со скоростью $\beta c$ относительно проводника.

Перейдём сначала в систему покоя электронов.

Так как в исходной системе их плотность уже увеличена лоренцевым сокращением в $\gamma$ раз, собственная плотность электронов равна

$$\rho_{e0}=-\frac{\rho}{\gamma},$$

где

$$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.$$

Относительная скорость электронов и новой системы определяется релятивистским законом сложения скоростей:

$$\beta_2=\frac{\beta_1-\beta}{1-\beta_1\beta}.$$

Соответствующий лоренцев фактор равен

$$\gamma_2=\gamma\gamma_1(1-\beta\beta_1).$$

Поэтому плотность электронов в новой системе составляет

$$\rho'_e=\gamma_2\rho_{e0}.$$

Подставляя $\rho_{e0}$, получаем

$$\rho'_e=-\gamma_1(1-\beta\beta_1)\rho.$$

Следовательно,

$$\boxed{\rho'_e=-\gamma_1(1-\beta\beta_1)\rho}.$$

Полная объёмная плотность заряда проводника теперь не равна нулю:

$$\rho'_{\Sigma}=\rho'_i+\rho'_e.$$

Отсюда

$$\rho'_{\Sigma}=\gamma_1\rho-\gamma_1(1-\beta\beta_1)\rho.$$

Следовательно,

$$\boxed{\rho'_{\Sigma}=\gamma_1\beta\beta_1\rho}.$$

Таким образом, в движущейся системе проводник становится заряженным.

Магнитное поле

В исходной системе электрическое поле отсутствует:

$$\mathbf E=0.$$

Магнитное поле прямого проводника направлено перпендикулярно его оси и, следовательно, перпендикулярно $\boldsymbol{\beta}_1$.

Из формулы преобразования магнитного поля имеем

$$\mathbf B_1=\gamma_1\mathbf B.$$

Поэтому

$$\boxed{B_1=\gamma_1B}.$$

Именно этот результат приведён в официальном ответе: магнитное поле увеличивается в $\gamma_1$ раз.

Электрическое поле

Из формулы преобразования электрического поля при $\mathbf E=0$:

$$\mathbf E_1=-\gamma_1[\boldsymbol{\beta}_1\times\mathbf B].$$

Но

$$\mathbf B_1=\gamma_1\mathbf B.$$

Следовательно,

$$\boxed{\mathbf E_1=-[\boldsymbol{\beta}_1\times\mathbf B_1]}.$$

По модулю

$$\boxed{E_1=\beta_1B_1}.$$

Итак, результаты задачи 14.3.5:

$$\boxed{\rho'_i=\gamma_1\rho},$$

$$\boxed{\rho'_e=-\gamma_1(1-\beta\beta_1)\rho},$$

$$\boxed{\rho'_{\Sigma}=\gamma_1\beta\beta_1\rho},$$

$$\boxed{B_1=\gamma_1B},$$

$$\boxed{E_1=\beta_1B_1}.$$

г) Задачи 14.3.6 и 14.3.7

Задача 14.3.6

В исходной системе имеется только магнитное поле:

$$\mathbf E=0.$$

После перехода к движущемуся состоянию электрическое поле равно

$$\mathbf E'=-\gamma[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B].$$

Магнитное поле имеет вид

$$\mathbf B'=\mathbf B_{\parallel}+\gamma\mathbf B_{\perp}.$$

Рассмотрим векторное произведение

$$[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B'].$$

Поскольку

$$[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B_{\parallel}]=0,$$

получаем

$$[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B']=\gamma[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B_{\perp}].$$

Но

$$[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B]=[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B_{\perp}].$$

Следовательно,

$$\boxed{\mathbf E'=-[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B']}.$$

Это точное соотношение.

При малых скоростях

$$\beta\ll1$$

и

$$\gamma\approx1.$$

Кроме того,

$$\mathbf B'\approx\mathbf B.$$

Поэтому

$$\boxed{\mathbf E'\approx-[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B]}.$$

Этот результат показывает, что чисто магнитное поле в одной системе отсчёта в другой системе в общем случае сопровождается электрическим полем.

Задача 14.3.7

Теперь в исходной системе существует только электрическое поле:

$$\mathbf B=0.$$

Тогда

$$\mathbf E'=\mathbf E_{\parallel}+\gamma\mathbf E_{\perp},$$

а магнитное поле равно

$$\mathbf B'=\gamma[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E].$$

Рассмотрим

$$[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E'].$$

Параллельная составляющая электрического поля не даёт вклада:

$$[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E_{\parallel}]=0.$$

Поэтому

$$[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E']=\gamma[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E_{\perp}].$$

Но

$$[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E]=[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E_{\perp}].$$

Следовательно,

$$\boxed{\mathbf B'=[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E']}.$$

Это точное соотношение между электрическим и магнитным полями в преобразованной системе.

При

$$\beta\ll1$$

имеем

$$\gamma\approx1$$

и

$$\mathbf E'\approx\mathbf E.$$

Поэтому

$$\boxed{\mathbf B'\approx[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E]}.$$

Таким образом, чисто электрическое поле в одной системе отсчёта в другой системе сопровождается магнитным полем.

д) Ультрарелятивистский предел $\beta\to1$

Рассмотрим поперечные составляющие преобразованных полей:

$$\mathbf E'_{\perp}=\gamma\left(\mathbf E_{\perp}-[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B]\right),$$

$$\mathbf B'_{\perp}=\gamma\left(\mathbf B_{\perp}+[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E]\right).$$

Пусть

$$\mathbf n=\frac{\boldsymbol{\beta}}{\beta}$$

— единичный вектор вдоль направления движения.

При

$$\beta\to1$$

можно в главных по $\gamma$ слагаемых положить $\boldsymbol{\beta}\to\mathbf n$.

Введём вектор

$$\mathbf A=\mathbf E_{\perp}-[\mathbf n\times\mathbf B_{\perp}].$$

Тогда

$$\mathbf E'_{\perp}\sim\gamma\mathbf A.$$

Рассмотрим вектор

$$[\mathbf n\times\mathbf A].$$

Имеем

$$[\mathbf n\times\mathbf A]=[\mathbf n\times\mathbf E_{\perp}]-[\mathbf n\times[\mathbf n\times\mathbf B_{\perp}]].$$

Поскольку $\mathbf B_{\perp}\perp\mathbf n$,

$$[\mathbf n\times[\mathbf n\times\mathbf B_{\perp}]]=-\mathbf B_{\perp}.$$

Следовательно,

$$[\mathbf n\times\mathbf A]=\mathbf B_{\perp}+[\mathbf n\times\mathbf E_{\perp}].$$

Но именно это выражение входит в главную часть преобразованного магнитного поля:

$$\mathbf B'_{\perp}\sim\gamma[\mathbf n\times\mathbf A].$$

Таким образом,

$$\mathbf B'_{\perp}\sim[\mathbf n\times\mathbf E'_{\perp}].$$

Векторное произведение всегда перпендикулярно исходному вектору. Поэтому в ультрарелятивистском пределе

$$\boxed{\mathbf E'\perp\mathbf B'}.$$

Можно проверить этот результат и с помощью инварианта электромагнитного поля.

При преобразованиях Лоренца сохраняется скалярное произведение

$$\boxed{\mathbf E'\cdot\mathbf B'=\mathbf E\cdot\mathbf B}.$$

Правая часть остаётся конечной, тогда как в общем случае при $\beta\to1$

$$E'\sim\gamma,\qquad B'\sim\gamma,$$

и поэтому

$$E'B'\sim\gamma^2\to\infty.$$

Если $\theta'$ — угол между $\mathbf E'$ и $\mathbf B'$, то

$$\cos\theta'=\frac{\mathbf E'\cdot\mathbf B'}{E'B'}.$$

Следовательно,

$$\cos\theta'\to0,$$

то есть

$$\boxed{\theta'\to\frac{\pi}{2}}.$$

Следует отметить, что это рассуждение относится к обычному невырожденному случаю, когда поперечные составляющие полей не сокращаются между собой. Именно этот случай подразумевается в формулировке задачи.

Итог

Последовательные преобразования со скоростями $c\boldsymbol{\beta}$ и $-c\boldsymbol{\beta}$ взаимно обратны:

$$\boxed{\mathbf E''=\mathbf E,\qquad \mathbf B''=\mathbf B}.$$

Для чисто магнитного поля:

$$\boxed{\mathbf E'=-[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B']}.$$

Для чисто электрического поля:

$$\boxed{\mathbf B'=[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E']}.$$

При малых скоростях:

$$\boxed{\mathbf E'\approx-[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B]},$$

$$\boxed{\mathbf B'\approx[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E]}.$$

В ультрарелятивистском пределе, в невырожденном случае,

$$\boxed{\beta\to1\quad\Longrightarrow\quad\mathbf E'\perp\mathbf B'}.$$