New solution

Valter edited
View solution History
revision #22192 newer →
ru/14.3.28.md +271 −0
@@ -0,0 +1,271 @@
+### Условие
+
+$14.3.28^\*.$ Заряженный конденсатор, подвешенный на нити, казалось бы, не может вместе с нитью и подвесом двигаться поступательно, если угол $\alpha$ не прямой, так как магнитная сила взаимодействия двух совместно движущихся зарядов создает вращательный момент. Этот вращательный момент можно было бы обнаружить экспериментально, если считать, что конденсатор вместе с Землей движется со скоростью $\beta c$. Так ли это?
+
+![|500x536, 30%](../../img/14.3.28/statement.svg)
+
+### Решение
+
+Рассмотрим конденсатор в системе отсчёта, относительно которой он вместе с подвесом движется поступательно со скоростью
+
+$$
+\mathbf v=c\boldsymbol{\beta},
+\qquad
+\beta=\frac{v}{c}.
+$$
+
+Пусть $\mathbf E$ — электрическое поле одной пластины в точках расположения зарядов другой пластины.
+
+При движении заряженного конденсатора возникает также магнитное поле, поэтому на заряды каждой пластины действует не только электрическая, но и магнитная сила Лоренца.
+
+На первый взгляд результирующая сила оказывается направленной не по нормали к пластине, что как будто должно создавать вращающий момент. Покажем, что это не приводит к вращению конденсатора.
+
+Обозначим через $\theta$ угол между нормалью к пластине и направлением движения конденсатора. Тогда электрическое поле можно разложить на составляющие, параллельную и перпендикулярную скорости:
+
+$$
+E_{\parallel}=E\cos\theta,
+$$
+
+$$
+E_{\perp}=E\sin\theta.
+$$
+
+Поскольку в собственной системе конденсатора магнитное поле отсутствует, в движущейся системе электрическое и магнитное поля связаны соотношением
+
+$$
+\mathbf B=[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E].
+$$
+
+Сила Лоренца, действующая на заряд $Q$ пластины, равна
+
+$$
+\mathbf F=Q\left(\mathbf E+[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B]\right).
+$$
+
+Подставим выражение для магнитного поля:
+
+$$
+\mathbf F=Q\left(\mathbf E+[\boldsymbol{\beta}\times[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E]]\right).
+$$
+
+Используем тождество
+
+$$
+[\mathbf a\times[\mathbf a\times\mathbf b]]=\mathbf a(\mathbf a\cdot\mathbf b)-a^2\mathbf b.
+$$
+
+Для составляющей поля, параллельной $\boldsymbol{\beta}$, магнитная сила отсутствует. Поэтому
+
+$$
+\boxed{F_{\parallel}=QE_{\parallel}}.
+$$
+
+Для поперечной составляющей
+
+$$
+[\boldsymbol{\beta}\times[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E_{\perp}]]=
+-\beta^2\mathbf E_{\perp}.
+$$
+
+Следовательно,
+
+$$
+F_{\perp}=QE_{\perp}(1-\beta^2).
+$$
+
+Таким образом,
+
+$$
+\boxed{F_{\perp}=QE_{\perp}(1-\beta^2)}.
+$$
+
+Подставляя компоненты электрического поля, получаем
+
+$$
+F_{\parallel}=QE\cos\theta,
+$$
+
+$$
+F_{\perp}=QE(1-\beta^2)\sin\theta.
+$$
+
+Следовательно,
+
+$$
+\frac{F_{\perp}}{F_{\parallel}}=(1-\beta^2)\tan\theta.
+$$
+
+Таким образом, результирующая сила действительно не направлена по нормали к пластине.
+
+Однако из этого нельзя делать вывод, что ускорение также направлено вдоль силы. В релятивистской механике сила определяется как
+
+$$
+\mathbf F=\frac{d\mathbf p}{dt},
+$$
+
+где
+
+$$
+\mathbf p=\gamma M\mathbf v,
+\qquad
+\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.
+$$
+
+Для составляющих ускорения, параллельной и перпендикулярной скорости, справедливы соотношения
+
+$$
+F_{\parallel}=\gamma^3Ma_{\parallel},
+$$
+
+$$
+F_{\perp}=\gamma Ma_{\perp}.
+$$
+
+Отсюда
+
+$$
+a_{\parallel}=\frac{F_{\parallel}}{\gamma^3M},
+$$
+
+$$
+a_{\perp}=\frac{F_{\perp}}{\gamma M}.
+$$
+
+Рассмотрим отношение компонент ускорения:
+
+$$
+\frac{a_{\perp}}{a_{\parallel}}=\frac{F_{\perp}/(\gamma M)}
+{F_{\parallel}/(\gamma^3M)}.
+$$
+
+Следовательно,
+
+$$
+\frac{a_{\perp}}{a_{\parallel}}=\gamma^2\frac{F_{\perp}}{F_{\parallel}}.
+$$
+
+Подставляя найденное отношение компонент силы,
+
+$$
+\frac{a_{\perp}}{a_{\parallel}}=\gamma^2(1-\beta^2)\tan\theta.
+$$
+
+Но
+
+$$
+\gamma^2(1-\beta^2)=1.
+$$
+
+Поэтому
+
+$$
+\boxed{\frac{a_{\perp}}{a_{\parallel}}=\tan\theta}.
+$$
+
+Следовательно, вектор ускорения образует с направлением движения тот же угол $\theta$, что и нормаль к пластине.
+
+Иными словами,
+
+$$
+\boxed{\mathbf a\perp\text{ пластине}}.
+$$
+
+Это можно увидеть и непосредственно. Из выражений для компонент силы имеем
+
+$$
+a_{\parallel}=\frac{QE\cos\theta}{\gamma^3M},
+$$
+
+а для поперечной составляющей
+
+$$
+a_{\perp}=\frac{QE(1-\beta^2)\sin\theta}{\gamma M}.
+$$
+
+Поскольку
+
+$$
+1-\beta^2=\frac{1}{\gamma^2},
+$$
+
+получаем
+
+$$
+a_{\perp}=\frac{QE\sin\theta}{\gamma^3M}.
+$$
+
+Таким образом,
+
+$$
+a_{\parallel}=\frac{QE}{\gamma^3M}\cos\theta,
+$$
+
+$$
+a_{\perp}=\frac{QE}{\gamma^3M}\sin\theta.
+$$
+
+Обе компоненты в точности соответствуют разложению вектора, направленного по нормали к пластине.
+
+Для противоположной пластины ускорение имеет такой же модуль и противоположное направление. Следовательно, электромагнитное взаимодействие вызывает только взаимное притяжение пластин по нормали и не создаёт их относительного поворота.
+
+Если использовать угол $\alpha$, указанный на рисунке между пластиной и направлением движения, то
+
+$$
+\theta=\frac{\pi}{2}-\alpha,
+$$
+
+поэтому
+
+$$
+\cos\theta=\sin\alpha,
+\qquad
+\sin\theta=\cos\alpha.
+$$
+
+Тогда
+
+$$
+a_{\parallel}=\frac{QE}{\gamma^3M}\sin\alpha,
+$$
+
+$$
+a_{\perp}=\frac{QE}{\gamma^3M}\cos\alpha,
+$$
+
+что снова показывает, что ускорение направлено перпендикулярно пластине.
+
+Следовательно, несмотря на то что результирующая электромагнитная сила в движущейся системе не направлена по нормали к пластинам, релятивистское соотношение между силой и ускорением обеспечивает именно нормальное ускорение пластин.
+
+Поэтому никакого вращения конденсатора не возникает.
+
+Кроме того, это согласуется с принципом относительности: равномерное поступательное движение конденсатора вместе с Землёй не может быть обнаружено с помощью внутреннего механического эксперимента.
+
+#### Ответ
+
+Результирующая электромагнитная сила в движущейся системе действительно отклонена от нормали к пластине, однако в релятивистской механике сила и ускорение не обязаны быть параллельны.
+
+Из соотношений
+
+$$
+F_{\parallel}=\gamma^3Ma_{\parallel},
+$$
+
+$$
+F_{\perp}=\gamma Ma_{\perp},
+$$
+
+следует, что компоненты ускорения имеют именно такое соотношение, при котором вектор ускорения оказывается направленным по нормали к пластине.
+
+Следовательно,
+
+$$
+\boxed{\text{конденсатор не вращается}.}
+$$
+
+<i>Примечание:</i> в официальном ответе угол $\alpha$ фактически используется как угол между направлением движения и нормалью к пластине, тогда как на рисунке он изображён как угол между направлением движения и самой пластиной. Поэтому при буквальном следовании рисунку синусы и косинусы в формулах для $F_{\parallel}$, $F_{\perp}$, $a_{\parallel}$ и $a_{\perp}$ следует поменять местами. Кроме того, коэффициент перед компонентами ускорения должен иметь вид
+
+$$
+k=\frac{QE}{\gamma^3M}=\frac{QE}{M}(1-\beta^2)^{3/2}.
+$$
+
+Эти уточнения не изменяют физического вывода: ускорение направлено перпендикулярно пластине, и вращения конденсатора не возникает.