Решение

Рассмотрим конденсатор в системе отсчёта, относительно которой он вместе с подвесом движется поступательно со скоростью

$$\mathbf v=c\boldsymbol{\beta}, \qquad \beta=\frac{v}{c}.$$

Пусть $\mathbf E$ — электрическое поле одной пластины в точках расположения зарядов другой пластины.

При движении заряженного конденсатора возникает также магнитное поле, поэтому на заряды каждой пластины действует не только электрическая, но и магнитная сила Лоренца.

На первый взгляд результирующая сила оказывается направленной не по нормали к пластине, что как будто должно создавать вращающий момент. Покажем, что это не приводит к вращению конденсатора.

Обозначим через $\theta$ угол между нормалью к пластине и направлением движения конденсатора. Тогда электрическое поле можно разложить на составляющие, параллельную и перпендикулярную скорости:

$$E_{\parallel}=E\cos\theta,$$

$$E_{\perp}=E\sin\theta.$$

Поскольку в собственной системе конденсатора магнитное поле отсутствует, в движущейся системе электрическое и магнитное поля связаны соотношением

$$\mathbf B=[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E].$$

Сила Лоренца, действующая на заряд $Q$ пластины, равна

$$\mathbf F=Q\left(\mathbf E+[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B]\right).$$

Подставим выражение для магнитного поля:

$$\mathbf F=Q\left(\mathbf E+[\boldsymbol{\beta}\times[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E]]\right).$$

Используем тождество

$$[\mathbf a\times[\mathbf a\times\mathbf b]]=\mathbf a(\mathbf a\cdot\mathbf b)-a^2\mathbf b.$$

Для составляющей поля, параллельной $\boldsymbol{\beta}$, магнитная сила отсутствует. Поэтому

$$\boxed{F_{\parallel}=QE_{\parallel}}.$$

Для поперечной составляющей

$$[\boldsymbol{\beta}\times[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E_{\perp}]]= -\beta^2\mathbf E_{\perp}.$$

Следовательно,

$$F_{\perp}=QE_{\perp}(1-\beta^2).$$

Таким образом,

$$\boxed{F_{\perp}=QE_{\perp}(1-\beta^2)}.$$

Подставляя компоненты электрического поля, получаем

$$F_{\parallel}=QE\cos\theta,$$

$$F_{\perp}=QE(1-\beta^2)\sin\theta.$$

Следовательно,

$$\frac{F_{\perp}}{F_{\parallel}}=(1-\beta^2)\tan\theta.$$

Таким образом, результирующая сила действительно не направлена по нормали к пластине.

Однако из этого нельзя делать вывод, что ускорение также направлено вдоль силы. В релятивистской механике сила определяется как

$$\mathbf F=\frac{d\mathbf p}{dt},$$

где

$$\mathbf p=\gamma M\mathbf v, \qquad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.$$

Для составляющих ускорения, параллельной и перпендикулярной скорости, справедливы соотношения

$$F_{\parallel}=\gamma^3Ma_{\parallel},$$

$$F_{\perp}=\gamma Ma_{\perp}.$$

Отсюда

$$a_{\parallel}=\frac{F_{\parallel}}{\gamma^3M},$$

$$a_{\perp}=\frac{F_{\perp}}{\gamma M}.$$

Рассмотрим отношение компонент ускорения:

$$\frac{a_{\perp}}{a_{\parallel}}=\frac{F_{\perp}/(\gamma M)} {F_{\parallel}/(\gamma^3M)}.$$

Следовательно,

$$\frac{a_{\perp}}{a_{\parallel}}=\gamma^2\frac{F_{\perp}}{F_{\parallel}}.$$

Подставляя найденное отношение компонент силы,

$$\frac{a_{\perp}}{a_{\parallel}}=\gamma^2(1-\beta^2)\tan\theta.$$

Но

$$\gamma^2(1-\beta^2)=1.$$

Поэтому

$$\boxed{\frac{a_{\perp}}{a_{\parallel}}=\tan\theta}.$$

Следовательно, вектор ускорения образует с направлением движения тот же угол $\theta$, что и нормаль к пластине.

Иными словами,

$$\boxed{\mathbf a\perp\text{ пластине}}.$$

Это можно увидеть и непосредственно. Из выражений для компонент силы имеем

$$a_{\parallel}=\frac{QE\cos\theta}{\gamma^3M},$$

а для поперечной составляющей

$$a_{\perp}=\frac{QE(1-\beta^2)\sin\theta}{\gamma M}.$$

Поскольку

$$1-\beta^2=\frac{1}{\gamma^2},$$

получаем

$$a_{\perp}=\frac{QE\sin\theta}{\gamma^3M}.$$

Таким образом,

$$a_{\parallel}=\frac{QE}{\gamma^3M}\cos\theta,$$

$$a_{\perp}=\frac{QE}{\gamma^3M}\sin\theta.$$

Обе компоненты в точности соответствуют разложению вектора, направленного по нормали к пластине.

Для противоположной пластины ускорение имеет такой же модуль и противоположное направление. Следовательно, электромагнитное взаимодействие вызывает только взаимное притяжение пластин по нормали и не создаёт их относительного поворота.

Если использовать угол $\alpha$, указанный на рисунке между пластиной и направлением движения, то

$$\theta=\frac{\pi}{2}-\alpha,$$

поэтому

$$\cos\theta=\sin\alpha, \qquad \sin\theta=\cos\alpha.$$

Тогда

$$a_{\parallel}=\frac{QE}{\gamma^3M}\sin\alpha,$$

$$a_{\perp}=\frac{QE}{\gamma^3M}\cos\alpha,$$

что снова показывает, что ускорение направлено перпендикулярно пластине.

Следовательно, несмотря на то что результирующая электромагнитная сила в движущейся системе не направлена по нормали к пластинам, релятивистское соотношение между силой и ускорением обеспечивает именно нормальное ускорение пластин.

Поэтому никакого вращения конденсатора не возникает.

Кроме того, это согласуется с принципом относительности: равномерное поступательное движение конденсатора вместе с Землёй не может быть обнаружено с помощью внутреннего механического эксперимента.