Решение

Скорость частиц первендикулярна вектору индукции магнитного поля, значит они будут двигаться не по винтовым линиям, а по окружностям, лежащим в одной плоскости, причем так как их скорости одинаковы, радиусы всех траекторий равны:

$R= \frac{mv}{qB}$

Положение центра окружности зависит от угла вылета $\beta$.
Поместим систему в прямоугольную систему координат (см. рис.),так чтобы $Oy$ проходила через центр пучка. Фокусировка пучка будет происходить именно вблизи $Oy$. Заметим, что координата точки пересечения траектории и Oy определяется как

$$y=2Rcos\beta$$

Причем $y_{\text{max}}=2R$ соответствует $\beta=0$, $y_{\text{min}}=2Rcos(\delta\alpha/2)$ соответствует максимальному углу $\beta=\delta\alpha/2$. Разница между этими значениями и будет искомым поперечным размером. Угол $\delta\alpha$ малый, значит можно считать, что $\delta\alpha/2$ малый, и
$$\cos(\delta\alpha/2)\approx1-\frac{(\delta\alpha/2)^2}{2}$$

Тогда

$$\Delta y =y_{\text{max}}-y_{\text{min}}=2R-2R(1-\frac{(\delta\alpha/2)^2}{2}) =\frac{mv(\delta\alpha)^2}{4qB}$$

Край области $\Delta y$ будет находится на расстоянии $l= y_{\text{max}}=2R=\frac{2mv}{qB}$ от точки $A$.