7.1.8. Пылинка массы $10^{-12 }$ кг падает между вертикальными пластинами плоского конденсатора на одинаковом расстоянии от них. Из-за сопротивления воздуха скорость пылинки постоянна и равна $v_y = 1$ мм/с. Конденсатор подключают к источнику напряжения $U=490$ В, и через $t_1=10$ с пылинка достигает одной из пластин. Определите заряд пылинки. Расстояние между пластинами конденсатора $d=0.1$ м. Силу сопротивления считать пропорциональной скорости пылинки.
Решение
Нам интересен только тот факт, что пылинка движется в однородном поле, перпендикулярном ускорению свободного падения. Найдем это поле:
$$E=\frac{U}{d}$$
На пылинку действует сонаправленная с полем сила Кулона, причем эта сила постоянна:
$$F_L=qE$$
Казалось бы, имеем простое равноускоренное приближение к пластинке конденсатора, но вспомним о сопротивлении воздуха и добавим его в уравнение движения.
Пусть $F_d=\beta v_x \$ (считая ось $x$ сонаправленной полю, $y$ - ускорению свободного падения ). Тогда уравенния $II$ закона Ньютона по осям
$$mg-\beta v_y=0$$
$$m\frac{dv_x}{dt}=qE-\beta v_x$$
Зная граничные условия ($x(0)=0$,$x(t_1)=\frac{d}{2}$) нетрудно решить второй дифур, получив $\beta$ из первого уравнения:
В этой конкретной задаче чтобы не запутаться лучше разбить выражения на действия, и получить что то такое (размерности не указываю для экономии места):
$$\frac{g}{v_y}t_1 = 9.8 \cdot 10^{4}=a$$
Это очень большое число, значит, можно считать что
так как мы не знаем, как было подключено напряжение и к какой пластине полетел заряд, возможно определить только его модуль, но не знак
У Савченко ошибка/опечатка в ответе
можно показать, что для получения такого ответа достаточно сразу пренебречь сопротивлением воздуха и считать движение равноускоренным. Но учитывая постановку задачи это требует аккуратного обоснования и оценки. Тут погрешность наших приближений составит $\varepsilon\approx 0.001 \%$ (вычислено с помощью Wolfram, обычный калькулятор может и не справиться)
Альтернативное решение
Сразу после включения поля ($t = 0$) второй закон Ньютона по оси поля
$$Eq - kv_x = m\,dv_x/dt,\tag{1}$$
где $E$ есть напряженность поля, $k$ есть коэффициент пропорциональности силы сопротивления.
Найдем производную $(1)$ для упрощения описания процесса:
$$-ka_x = m\,da_x/dt.\tag{2}$$
Опишем по $(2)$ функцию $a_x(t)$ (ускорение по оси поля). При $t = 0$ по $(1)$ имеем $a_x(0) = Eq/m > 0$. По $(2)$ производная $a_x(t)$ отрицательна после начала и пропорциональна значению самой функции, то есть спад замедляется у функции $a_x$ и она стремится к нулю.
Уравнение $(2)$ называется линейным, оно описывает переход величины от начального значения ($Eq/m$) к некоторому установившемуся ($0$). Если выделить саму функцию из $(2)$
$$a_x = -\frac{m}{k}\frac{da_x}{dt},$$
то коэффициент $m/k$ размерности времени перед производной по порядку величины дает время установления значения функции (покажите, решив простое дифференциальное уравнение $(2)$).
Таким образом, через время порядка $m/k$ ускорение станет ноль и движение тела станет равномерным по оси поля. Оказывается, что у нас время обнуления ускорения много меньше времени движения $t_1$ по оси поля:
$$\boxed{m/k \ll t_1.}$$
Это значит, что мы можем считать движение по оси поля почти сразу равномерным со скоростью $d/(2t_1)$.
Поэтому можем считать, что сразу выполняется равенство силы поля и сопротивления по оси поля. Сразу по оси поля скорость тела $v_x^* = d/(2t_1)$, поэтому уравнение сил
Метод графических оценок. Формулу $(1)$ домножим на $dt$ и учтем $ds_x = v_x\,dt$:
$$Eq\,dt - k\,ds_x = m\,dv_x.$$
Теперь просуммируем такие уравнения в конечные приращения от нуля до соответственно произвольных $t, s_x, v_x$:
$$Eqt - ks_x = mv_x.\tag{3}$$
По формуле $(1)$ имеем рост скорости от нуля с уменьшающейся производной $dv_x/dt$ (темп роста уменьшается). Представим по графику. Функция $v_x(t)$ выгнутая вверх по сравнению с линейным ростом до текущей скорости. Пусть через время $t_1$ у стенки скорость действительно $v_x^*$ по оси поля. Если эта скорость за данное время была достигнута с постоянным ускорением, то средняя скорость на всем пути вдоль поля равна $v_x^*/2 = d/(2t_1)$ (кинематика). Но у нас график действительно выгнут вверх, соответственно, и путь больше; значит действительно за такое же время средняя скорость $d/(2t_1)$ больше, но ограничивается интервалом $\left[v_x^*/2; v_x^*\right]$, то есть величиной порядка $v_x^*$.
По сказанному оцениваем конечную скорость движения порядка средней
$$\boxed{v_x^* \sim d/(2t_1).}$$
Теперь это в формулу $(3)$ с оценкой для времени $t_1$
$$Eqt_1 - kd/2 \sim md/(2t_1).\tag{3}$$
Далее численно замечаем $md/(2t_1) \ll kd/2$ и пренебрегаем слагаемым с массой в правой части. Далее находим заряд