Движение заряженных частиц в электрическом поле > Движение в постоянном электрическом поле > Задача 7.1.8

Условие

$7.1.8.$ Пылинка массы $10^{−12 }$ кг падает между вертикальными пластинами плоского конденсатора на одинаковом расстоянии от них. Из-за сопротивления воздуха скорость пылинки постоянна и равна $1$ мм/с. Конденсатор подключают
к источнику напряжения $U=490$ В, и через $t_1=10 $ с пылинка достигает одной из пластин. Определите заряд пылинки. Расстояние между пластинами конденсатора $d=0.1$ м. Силу сопротивления считать пропорциональной скорости пылинки.

Решение

Нам интересен только тот факт, что пылинка движется в однородном поле, перпендикулярном ускорению свободного падения. Найдем это поле:
$$
E=\frac{U}{d}
$$
На пылинку действует сонаправленная с полем сила Лоренца, причем эта сила постоянна:
$$
F_L=qE
$$
Казалось бы, имеем простое равноускоренное приближение к пластинке конденсатора, но вспомним о сопротивлении воздуха и добавим его в уравнение движения.

Пусть $F_d=\beta v_x \ $ (считая ось $x$ сонаправленной полю, $y$ - ускорению свободного падения ). Тогда уравенния $II$ закона Ньютона по осям
$$
mg-\beta v_y=0
$$
$$
m\frac{dv_x}{dt}=qE-\beta v_x
$$
Зная граничные условия ($x(0)=0$, $x(t_1)=\frac{d}{2}$) нетрудно решить второй дифур, получив $\beta$ из первого уравнения:
$$
m\int_0^{v_x} \frac{dv_x}{qE-\beta v_x}=\int_0^t dt
$$
$$
\int_0^{d/2}dx=\frac{d}{2}=\int_0^{t_1}v_xdt
$$
Расчет интегралов чисто технический, поэтому оставлю его вам. Должно получится:
$$
\beta=\frac{mg}{v_y}
$$
$$
v_x(t)=\frac{Eq}{\beta}\left(1- e^{-\beta /mt} \right)
$$
$$
\frac{d}{2}=\frac{Eq}{\beta}\left(t_1+\frac{m}{\beta}e^{-\beta t_1} -\frac{m}{\beta} \right)
$$

Из чего нетрудно выразить заряд:
$$
q=\frac{m}{2U}\left(\frac{gd}{v_y}\right)^2\left(\frac{g}{v_y}t_1+e^{-\frac{g}{v_y}t_1}-1\right)^{-1}
$$
В этой конкретной задаче чтобы не запутаться лучше разбить выражения на действия, и получить что то такое (размерности не указываю для экономии места):
$$
\frac{g}{v_y}t_1 = 9.8 \cdot 10^{4}=a
$$
значит, можно считать что
$$
\frac{g}{v_y}t_1+e^{-\frac{g}{v_y}t_1}-1 \approx\frac{g}{v_y}t_1-1\approx a
$$
$$
\frac{m}{2U} \approx \frac{10^{-14}}{9.8}
$$
$$
\left(\frac{gd}{v_y}\right)^2=10^{4}\cdot 9.8^2=9.8 \cdot a
$$
$$
q=10^{−14} \ \text{Кл}
$$
$No:$

• так как мы не знаем, как было подключено напряжение и к какой пластине полетел заряд, возможно определить только его модуль, но не знак
• У Савченко ошибка/опечатка в ответе

Ответ

$$
\boxed{q = 10^{−14} \ \text{Кл}}
$$