Edit to “Альтернативное решение”

emixter edited
View solution History
revision #22257 parent #17737 ← older
ru/11.5.17.md +54 −0
@@ -6,6 +6,60 @@Решение
![К задаче $11.5.17$ |960x1280, 100%](../../img/11.5.17/scan-0.png)
+### Альтернативное решение
+
+В начальном состоянии на бесконечном удалении от трубы ток в катушке равен $I$. Так как её длина $l \gg r$, мы можем рассматривать её как длинный соленоид. Магнитное поле внутри катушки:
+
+$$B_{0}=\mu_{0}\frac{N}{l}I \tag{1}$$
+
+Потокосцепление в катушке:
+
+$$\Psi_{0}=N\Phi_{0}=NB_{0}\pi\left( \frac{r}{2} \right)^{2}=\frac{\pi\mu_{0}N^{2}r^{2}}{4l}I \tag{2}$$
+
+По определению индуктивности:
+
+$$L_{0}=\frac{\Psi_{0}}{I}=\frac{\pi\mu_{0}N^{2}r^{2}}{4l} \tag{3}$$
+
+Начальная магнитная энергия катушки:
+
+$$E_{0}=\frac{1}{2}L_{0}I^{2}=\frac{\pi\mu_{0}N^{2}r^{2}I^{2}}{8l} \tag{4}$$
+
+Когда катушка влетает внутрь сверхпроводящей трубы, на внутренней поверхности трубы индуцируются токи. Они создают магнитное поле в трубе, которое изменяет магнитное поле в катушке. Пусть новое поле внутри катушки равно $B_{1}$, а поле в пространстве между катушкой и трубой равно $B_{2}$. Магнитный поток сквозь любое полное сечение сверхпроводящей трубы должен оставаться постоянным, а так как изначально он был равен нулю, то:
+
+$$\Phi_{тр}=B_{1}\pi\left( \frac{r}{2} \right)^{2}+B_{2}\pi\left( r^{2}-\left( \frac{r}{2} \right)^{2} \right)=0 \tag{5}$$
+
+Отсюда:
+
+$$B_{2}=-\frac{1}{3}B_{1} \tag{6}$$
+
+Так как катушка сверхпроводящая, её собственное потокосцепление сохраняется $\Psi_{1}=\Psi_{0}$:
+
+$$NB_{1}\pi\left( \frac{r}{2} \right)^{2}=NB_{0}\pi\left( \frac{r}{2} \right)^{2}\Longrightarrow B_{1}=B_{0} \tag{7}$$
+
+Тогда:
+
+$$B_{2}=-\frac{1}{3}B_{0} \tag{8}$$
+
+Полная магнитная энергия системы, когда катушка находится внутри трубы:
+
+$$E_{1}=\frac{1}{2\mu_{0}}\int B^{2}dV=\frac{1}{2\mu_{0}}\left[ B_{1}^{2}\pi\left( \frac{r}{2} \right)^{2}l+B_{2}^{2}\pi\left( r^{2}-\left( \frac{r}{2} \right)^{2} \right)l \right] \tag{9}$$
+
+Подставим (7) и (8) в (9):
+
+$$E_{1}=\frac{\pi B_{0}^{2}l}{2\mu_{0}}\left[\frac{r^{2}}{4}+\frac{1}{9}\cdot \frac{3r^{2}}{4} \right]=\frac{\pi r^{2}B_{0}^{2}l}{6\mu_{0}} \tag{10}$$
+
+Используя (1), подставим в (10) и окончательно получим для магнитной энергии:
+
+$$E_{1}=\frac{\pi r^{2}l}{6\mu_{0}}\left( \mu_{0}\frac{N}{l}I \right)^{2}=\frac{\pi\mu_{0}N^{2}r^{2}I^{2}}{6l} \tag{11}$$
+
+По закону сохранения энергии, минимальная кинетическая энергия катушки должна быть:
+
+$$\frac{1}{2}mv^{2}+E_{0}=E_{1}\Longrightarrow v=\sqrt{\frac{2(E_{1}-E_{0})}{m}} \tag{12}$$
+
+Подставим (4) и (11) в (12):
+
+$$v=\sqrt{\frac{2}{m}\left( \frac{\pi\mu_{0}N^{2}r^{2}I^{2}}{6l}-\frac{\pi\mu_{0}N^{2}r^{2}I^{2}}{8l} \right)}=NIr \sqrt{\frac{\pi\mu_0}{12lm}}$$
+
#### Ответ
$$v = NIr \sqrt{\frac{\pi \mu_0}{12 l m}}$$