Альтернативное решение

В начальном состоянии на бесконечном удалении от трубы ток в катушке равен $I$. Так как её длина $l \gg r$, мы можем рассматривать её как длинный соленоид. Магнитное поле внутри катушки:

$$B_{0}=\mu_{0}\frac{N}{l}I \tag{1}$$

Потокосцепление в катушке:

$$\Psi_{0}=N\Phi_{0}=NB_{0}\pi\left( \frac{r}{2} \right)^{2}=\frac{\pi\mu_{0}N^{2}r^{2}}{4l}I \tag{2}$$

По определению индуктивности:

$$L_{0}=\frac{\Psi_{0}}{I}=\frac{\pi\mu_{0}N^{2}r^{2}}{4l} \tag{3}$$

Начальная магнитная энергия катушки:

$$E_{0}=\frac{1}{2}L_{0}I^{2}=\frac{\pi\mu_{0}N^{2}r^{2}I^{2}}{8l} \tag{4}$$

Когда катушка влетает внутрь сверхпроводящей трубы, на внутренней поверхности трубы индуцируются токи. Они создают магнитное поле в трубе, которое изменяет магнитное поле в катушке. Пусть новое поле внутри катушки равно $B_{1}$, а поле в пространстве между катушкой и трубой равно $B_{2}$. Магнитный поток сквозь любое полное сечение сверхпроводящей трубы должен оставаться постоянным, а так как изначально он был равен нулю, то:

$$\Phi_{тр}=B_{1}\pi\left( \frac{r}{2} \right)^{2}+B_{2}\pi\left( r^{2}-\left( \frac{r}{2} \right)^{2} \right)=0 \tag{5}$$

Отсюда:

$$B_{2}=-\frac{1}{3}B_{1} \tag{6}$$

Так как катушка сверхпроводящая, её собственное потокосцепление сохраняется $\Psi_{1}=\Psi_{0}$:

$$NB_{1}\pi\left( \frac{r}{2} \right)^{2}=NB_{0}\pi\left( \frac{r}{2} \right)^{2}\Longrightarrow B_{1}=B_{0} \tag{7}$$

Тогда:

$$B_{2}=-\frac{1}{3}B_{0} \tag{8}$$

Полная магнитная энергия системы, когда катушка находится внутри трубы:

$$E_{1}=\frac{1}{2\mu_{0}}\int B^{2}dV=\frac{1}{2\mu_{0}}\left[ B_{1}^{2}\pi\left( \frac{r}{2} \right)^{2}l+B_{2}^{2}\pi\left( r^{2}-\left( \frac{r}{2} \right)^{2} \right)l \right] \tag{9}$$

Подставим (7) и (8) в (9):

$$E_{1}=\frac{\pi B_{0}^{2}l}{2\mu_{0}}\left[\frac{r^{2}}{4}+\frac{1}{9}\cdot \frac{3r^{2}}{4} \right]=\frac{\pi r^{2}B_{0}^{2}l}{6\mu_{0}} \tag{10}$$

Используя (1), подставим в (10) и окончательно получим для магнитной энергии:

$$E_{1}=\frac{\pi r^{2}l}{6\mu_{0}}\left( \mu_{0}\frac{N}{l}I \right)^{2}=\frac{\pi\mu_{0}N^{2}r^{2}I^{2}}{6l} \tag{11}$$

По закону сохранения энергии, минимальная кинетическая энергия катушки должна быть:

$$\frac{1}{2}mv^{2}+E_{0}=E_{1}\Longrightarrow v=\sqrt{\frac{2(E_{1}-E_{0})}{m}} \tag{12}$$

Подставим (4) и (11) в (12):

$$v=\sqrt{\frac{2}{m}\left( \frac{\pi\mu_{0}N^{2}r^{2}I^{2}}{6l}-\frac{\pi\mu_{0}N^{2}r^{2}I^{2}}{8l} \right)}=NIr \sqrt{\frac{\pi\mu_0}{12lm}}$$