Edit to “Решение”

igor edited Oct 25, 2026, 10:52 AM

View solution History

revision #22259 parent #22258 ← older newer →

ru/11.5.6.md +1 −1

			### Условие

			$11.5.6^*.$ Длинный короткозамкнутый сверхпроводящий соленоид вдвигают в магнитное поле индукции $B_0$ под углом $\alpha$ к направлению поля. Как распределится индукция магнитного поля в соленоиде, если он лишь наполовину войдет во внешнее поле?

			![К задаче $11.5.6$ \|470x324, 30%](../../img/11.5.6/statement.svg)


			### Решение

			Считаем сначала ток в сверхпроводящем соленоиде нулевой. Значит магнитный поток через все витки (потокосцепление) равен

			$$
			\Phi_1 = 0.
			$$

			Когда внесли наполовину в поле то потоксцепление через все витки тоже должно быть равно нулю

			$$
			\Phi_2 = 0.
			$$

			Величина $\Phi_2$ может быть рассмотрена как сумма

			- потока через левую половину (которая в поле) соленоида $\Phi_l$

			- и потока через правую половину соленоида вне поля $\Phi_r$.

			Тогда имеем

			$$
			0 = \Phi_l + \Phi_r.\tag{1}
			$$

			Далее, поток через левую половину есть сумма потока $\Phi_f$ поля через левую половину и потока $\Phi_{cl}$ от тока в соленоиде через левую половину.

			Для величины $\Phi_f$:

			$$
			\Phi_f = B_0S\cos\alpha\dfrac{N}{2},
			$$

			где $S$ есть площадь витка соленоида, $N$ есть количество витков соленоида.

		@@ -44,7 +44,7 @@Решение
			Учитывая, что поток через соленоид от его тока равен $\Phi_c = \Phi_{cl} + \Phi_r$ из $(1)$ получаем

			$$
		−	0 = ~~\Phi_f =~~ B_0S\cos\alpha\dfrac{N}{2} + \Phi_c.
		+	0 = B_0S\cos\alpha\dfrac{N}{2} + \Phi_c.
			$$

			Поток тока $\Phi_c$ можно представить

			$$
			\Phi_c = B_cSN,
			$$

			где $B_c$ есть поле внутри соленоида, созданное его током.

			Подставляем в предыдущее и находим

			$$
			\boxed{B_c = -\frac{1}{2}B_0\cos\alpha.}
			$$

			Найдем модули осевых результирующих индукций в соленоиде.

			В поле:

			$$
			B = B_0\cos\alpha - \frac{1}{2}B_0\cos\alpha = \frac{1}{2}B_0\cos\alpha.
			$$

			Вне поля

			$$
			B = -\frac{1}{2}B_0\cos\alpha.
			$$

			Почему не учитывается поток поля через соленоид от составляющей индукции $B_0\sin\alpha$ через соленоид? Порядок площади сверхпроводящего контура для этой составляющей $lr$, где $l$ есть длина соленоида, а порядок площади сверхпроводящего контура для осевой составляющей $r^2N = r^2\dfrac{l}{d}$, где $d$ есть диаметр провода. Считаем, что $d \ll r$ и $\alpha \sim 1$, поэтому сравнивая видим, что поток для неучтенной составляющей индукции $B_0\sin\alpha$ пренебрежимо мало по сравнению с потоком от осевой $B_0\cos\alpha$. Поэтому поток поля через соленоид, перпендикулярный оси не учитывался.


			#### Ответ

			Меняется только осевая составляющая индукции магнитного поля. В области внешнего поля она равна $(1/2)B_0\cos\alpha$, а вне этой области $-(1/2)B_0\cos\alpha$.
		unchanged lines 33

	### Условие		### Условие

	$11.5.6^*.$ Длинный короткозамкнутый сверхпроводящий соленоид вдвигают в магнитное поле индукции $B_0$ под углом $\alpha$ к направлению поля. Как распределится индукция магнитного поля в соленоиде, если он лишь наполовину войдет во внешнее поле?		$11.5.6^*.$ Длинный короткозамкнутый сверхпроводящий соленоид вдвигают в магнитное поле индукции $B_0$ под углом $\alpha$ к направлению поля. Как распределится индукция магнитного поля в соленоиде, если он лишь наполовину войдет во внешнее поле?

	![К задаче $11.5.6$ \|470x324, 30%](../../img/11.5.6/statement.svg)		![К задаче $11.5.6$ \|470x324, 30%](../../img/11.5.6/statement.svg)


	### Решение		### Решение

	Считаем сначала ток в сверхпроводящем соленоиде нулевой. Значит магнитный поток через все витки (потокосцепление) равен		Считаем сначала ток в сверхпроводящем соленоиде нулевой. Значит магнитный поток через все витки (потокосцепление) равен

	$$		$$
	\Phi_1 = 0.		\Phi_1 = 0.
	$$		$$

	Когда внесли наполовину в поле то потоксцепление через все витки тоже должно быть равно нулю		Когда внесли наполовину в поле то потоксцепление через все витки тоже должно быть равно нулю

	$$		$$
	\Phi_2 = 0.		\Phi_2 = 0.
	$$		$$

	Величина $\Phi_2$ может быть рассмотрена как сумма		Величина $\Phi_2$ может быть рассмотрена как сумма

	- потока через левую половину (которая в поле) соленоида $\Phi_l$		- потока через левую половину (которая в поле) соленоида $\Phi_l$

	- и потока через правую половину соленоида вне поля $\Phi_r$.		- и потока через правую половину соленоида вне поля $\Phi_r$.

	Тогда имеем		Тогда имеем

	$$		$$
	0 = \Phi_l + \Phi_r.\tag{1}		0 = \Phi_l + \Phi_r.\tag{1}
	$$		$$

	Далее, поток через левую половину есть сумма потока $\Phi_f$ поля через левую половину и потока $\Phi_{cl}$ от тока в соленоиде через левую половину.		Далее, поток через левую половину есть сумма потока $\Phi_f$ поля через левую половину и потока $\Phi_{cl}$ от тока в соленоиде через левую половину.

	Для величины $\Phi_f$:		Для величины $\Phi_f$:

	$$		$$
	\Phi_f = B_0S\cos\alpha\dfrac{N}{2},		\Phi_f = B_0S\cos\alpha\dfrac{N}{2},
	$$		$$

	где $S$ есть площадь витка соленоида, $N$ есть количество витков соленоида.		где $S$ есть площадь витка соленоида, $N$ есть количество витков соленоида.

	@@ -44,7 +44,7 @@Решение
	Учитывая, что поток через соленоид от его тока равен $\Phi_c = \Phi_{cl} + \Phi_r$ из $(1)$ получаем		Учитывая, что поток через соленоид от его тока равен $\Phi_c = \Phi_{cl} + \Phi_r$ из $(1)$ получаем

	$$		$$
	0 = ~~\Phi_f =~~ B_0S\cos\alpha\dfrac{N}{2} + \Phi_c.		0 = B_0S\cos\alpha\dfrac{N}{2} + \Phi_c.
	$$		$$

	Поток тока $\Phi_c$ можно представить		Поток тока $\Phi_c$ можно представить

	$$		$$
	\Phi_c = B_cSN,		\Phi_c = B_cSN,
	$$		$$

	где $B_c$ есть поле внутри соленоида, созданное его током.		где $B_c$ есть поле внутри соленоида, созданное его током.

	Подставляем в предыдущее и находим		Подставляем в предыдущее и находим

	$$		$$
	\boxed{B_c = -\frac{1}{2}B_0\cos\alpha.}		\boxed{B_c = -\frac{1}{2}B_0\cos\alpha.}
	$$		$$

	Найдем модули осевых результирующих индукций в соленоиде.		Найдем модули осевых результирующих индукций в соленоиде.

	В поле:		В поле:

	$$		$$
	B = B_0\cos\alpha - \frac{1}{2}B_0\cos\alpha = \frac{1}{2}B_0\cos\alpha.		B = B_0\cos\alpha - \frac{1}{2}B_0\cos\alpha = \frac{1}{2}B_0\cos\alpha.
	$$		$$

	Вне поля		Вне поля

	$$		$$
	B = -\frac{1}{2}B_0\cos\alpha.		B = -\frac{1}{2}B_0\cos\alpha.
	$$		$$

	Почему не учитывается поток поля через соленоид от составляющей индукции $B_0\sin\alpha$ через соленоид? Порядок площади сверхпроводящего контура для этой составляющей $lr$, где $l$ есть длина соленоида, а порядок площади сверхпроводящего контура для осевой составляющей $r^2N = r^2\dfrac{l}{d}$, где $d$ есть диаметр провода. Считаем, что $d \ll r$ и $\alpha \sim 1$, поэтому сравнивая видим, что поток для неучтенной составляющей индукции $B_0\sin\alpha$ пренебрежимо мало по сравнению с потоком от осевой $B_0\cos\alpha$. Поэтому поток поля через соленоид, перпендикулярный оси не учитывался.		Почему не учитывается поток поля через соленоид от составляющей индукции $B_0\sin\alpha$ через соленоид? Порядок площади сверхпроводящего контура для этой составляющей $lr$, где $l$ есть длина соленоида, а порядок площади сверхпроводящего контура для осевой составляющей $r^2N = r^2\dfrac{l}{d}$, где $d$ есть диаметр провода. Считаем, что $d \ll r$ и $\alpha \sim 1$, поэтому сравнивая видим, что поток для неучтенной составляющей индукции $B_0\sin\alpha$ пренебрежимо мало по сравнению с потоком от осевой $B_0\cos\alpha$. Поэтому поток поля через соленоид, перпендикулярный оси не учитывался.


	#### Ответ		#### Ответ

	Меняется только осевая составляющая индукции магнитного поля. В области внешнего поля она равна $(1/2)B_0\cos\alpha$, а вне этой области $-(1/2)B_0\cos\alpha$.		Меняется только осевая составляющая индукции магнитного поля. В области внешнего поля она равна $(1/2)B_0\cos\alpha$, а вне этой области $-(1/2)B_0\cos\alpha$.
	unchanged lines 33