| @@ -1,29 +1,83 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $11.5.6^*.$ Длинный короткозамкнутый сверхпроводящий соленоид вдвигают в магнитное поле индукции $B_0$ под углом $\alpha$ к направлению поля. Как распределится индукция магнитного поля в соленоиде, если он лишь наполовину войдет во внешнее поле? |
| $11.5.6^*.$ Длинный короткозамкнутый сверхпроводящий соленоид вдвигают в магнитное поле индукции $B_0$ под углом $\alpha$ к направлению поля. Как распределится индукция магнитного поля в соленоиде, если он лишь наполовину войдет во внешнее поле? |
| |
| |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| |
| |
| ### Решение |
| ### Решение |
| |
| |
| |
| Считаем сначала ток в сверхпроводящем соленоиде нулевой. Значит магнитный поток через все витки (потокосцепление) равен |
| |
| |
|  |
| $$ |
| |
| \Phi_1 = 0. |
| |
| $$ |
| |
| |
| Получены значения осевых(!) составляющих индукции магнитного поля в соленоиде. |
| Когда внесли наполовину в поле то потоксцепление через все витки тоже должно быть равно нулю |
| |
| |
| |
| $$ |
| |
| \Phi_2 = 0. |
| |
| $$ |
| |
| |
| #### Ответ |
| Величина $\Phi_2$ может быть рассмотрена как сумма |
| |
| |
| В области внешнего поля: |
| - потока через левую половину (которая в поле) соленоида $\Phi_l$ |
| |
| |
| |
| - и потока через правую половину соленоида вне поля $\Phi_r$. |
| |
| |
| |
| Тогда имеем |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| -\frac{1}{2}B_0\cos\alpha. |
| 0 = \Phi_l + \Phi_r.\tag{1} |
| $$ |
| $$ |
| |
| |
| В области без внешнего поля: |
| Далее, поток через левую половину есть сумма потока $\Phi_f$ поля через левую половину и потока $\Phi_{cl}$ от тока в соленоиде через левую половину. |
| |
| |
| |
| Для величины $\Phi_f$: |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| \frac{1}{2}B_0\cos\alpha. |
| \Phi_f = B_0S\cos\alpha\dfrac{N}{2}, |
| |
| $$ |
| |
| |
| |
| где $S$ есть площадь витка соленоида, $N$ есть количество витков соленоида. |
| |
| |
| |
| Учитывая, что поток через соленоид от его тока равен $\Phi_c = \Phi_{cl} + \Phi_r$ из $(1)$ получаем |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| |
| 0 = \Phi_f = B_0S\cos\alpha\dfrac{N}{2} + \Phi_c. |
| |
| $$ |
| |
| |
| |
| Поток тока $\Phi_c$ можно представить |
| |
| |
| |
| $$ |
| |
| \Phi_c = B_cSN, |
| |
| $$ |
| |
| |
| |
| где $B_c$ есть поле внутри соленоида, созданное его током. |
| |
| |
| |
| Подставляем в предыдущее и находим |
| |
| |
| |
| $$ |
| |
| \boxed{B_c = -\frac{1}{2}B_0\cos\alpha.} |
| |
| $$ |
| |
| |
| |
| Найдем модули осевых результирующих индукций в соленоиде. |
| |
| |
| |
| В поле: |
| |
| |
| |
| $$ |
| |
| B = B_0\cos\alpha - \frac{1}{2}B_0\cos\alpha = \frac{1}{2}B_0\cos\alpha. |
| |
| $$ |
| |
| |
| |
| Вне поля |
| |
| |
| |
| $$ |
| |
| B = -\frac{1}{2}B_0\cos\alpha. |
| |
| $$ |
| |
| |
| |
| Почему не учитывается поток поля через соленоид от составляющей индукции $B_0\sin\alpha$ через соленоид? Порядок площади сверхпроводящего контура для этой составляющей $lr$, где $l$ есть длина соленоида, а порядок площади сверхпроводящего контура для осевой составляющей $r^2N = r^2\dfrac{l}{d}$, где $d$ есть диаметр провода. Считаем, что $d \ll r$ и $\alpha \sim 1$, поэтому сравнивая видим, что поток для неучтенной составляющей индукции $B_0\sin\alpha$ пренебрежимо мало по сравнению с потоком от осевой $B_0\cos\alpha$. Поэтому поток поля через соленоид, перпендикулярный оси не учитывался. |
| |
| |
| |
| |
| |
| #### Ответ |
| |
| |
| |
| Меняется только осевая составляющая индукции магнитного поля. В области внешнего поля она равна $(1/2)B_0\cos\alpha$, а вне этой области $-(1/2)B_0\cos\alpha$. |
