Решение

Период колебаний обычного крутильного маятника при малой амплитуде равен:

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{J}{k}}$$

Где $k$ - крутильная жесткость нити, выразим ее:

$$k = \frac{4 \pi^2 J}{T^2}$$

Так как в начальный момент времени кольцо находится в положении равновесия и магнитное поле параллельно плоскости кольца, то поток магнитного поля через кольцо равно 0. Кольцо у нас сверхпроводимое, тогда по закону электромагнитной индукции полный магнитный поток, пронизывающий контур кольца, должен оставаться неизменным, то есть равным 0.

Пусть кольцо повернулось вокруг оси подвеса на малый угол $\varphi$, тогда внешний магнитный поток через контур составит:

$$\Phi_{1}=BS\sin\varphi\approx B\pi r^{2}\varphi$$

Для компенсации этого изменения в кольце возникает индукционный ток $I$, создающий собственный поток $\Phi_{2}=LI$. Из условия неизменности полного потока:

$$\Phi_{1}+\Phi_{2}=0\Longrightarrow B\pi r^{2}\varphi+LI=0\Longrightarrow I=-\frac{B\pi r^{2}}{L}\varphi$$

Момент действующий на рамку со стороны магнитного поля равен:

$$M = \mu B\cos\varphi \approx \mu B=IB\pi r^{2}$$

где $\mu = \pi r^2 I$ - магнитный момент рамки.

Подставим силу тока:

$$M=-\frac{B\pi r^{2}}{L}\varphi \cdot B\pi r^{2}=-\frac{B^{2}\pi^{2}r^{4}}{L}\varphi$$

Составим уравнение колебаний по 2ЗН для вращательного движения:

$$J\ddot{\varphi}=-k\varphi+M=-\frac{4 \pi^2 J}{T^2} \varphi-\frac{B^2 \pi^2 r^4}{L}\varphi\Longrightarrow \ddot{\varphi}+\left( \frac{4 \pi^2 }{T^2}+\frac{B^2 \pi^2 r^4}{JL} \right)\varphi=0$$

Период по аналогии с обычными колебаниями, после преобразований:

$$T' = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{4 \pi^2 }{T^2}+\frac{B^2 \pi^2 r^4}{JL}} }=\frac{T}{\sqrt{1+\frac{B^2 r^4 T^2}{4LJ}}}$$