Edit to “Решение”

emixter edited
View solution History
revision #22262 parent #19381 ← older
ru/11.5.23.md +15 −7
@@ -14,26 +14,34 @@Решение
$$k = \frac{4 \pi^2 J}{T^2}$$
+Так как в начальный момент времени кольцо находится в положении равновесия и магнитное поле параллельно плоскости кольца, то поток магнитного поля через кольцо равно 0. Кольцо у нас сверхпроводимое, тогда по закону электромагнитной индукции полный магнитный поток, пронизывающий контур кольца, должен оставаться неизменным, то есть равным 0.
+
+Пусть кольцо повернулось вокруг оси подвеса на малый угол $\varphi$, тогда внешний магнитный поток через контур составит:
+
+$$\Phi_{1}=BS\sin\varphi\approx B\pi r^{2}\varphi$$
+
+Для компенсации этого изменения в кольце возникает индукционный ток $I$, создающий собственный поток $\Phi_{2}=LI$. Из условия неизменности полного потока:
+
+$$\Phi_{1}+\Phi_{2}=0\Longrightarrow B\pi r^{2}\varphi+LI=0\Longrightarrow I=-\frac{B\pi r^{2}}{L}\varphi$$
+
Момент действующий на рамку со стороны магнитного поля равен:
−$$M = \mu \times B \approx \mu B$$
+$$M = \mu B\cos\varphi \approx \mu B=IB\pi r^{2}$$
где $\mu = \pi r^2 I$ - магнитный момент рамки.
−Магнитный поток через рамку равен:
+Подставим силу тока:
−$$\Phi = L I = B \pi r^2 \varphi$$
+$$M=-\frac{B\pi r^{2}}{L}\varphi \cdot B\pi r^{2}=-\frac{B^{2}\pi^{2}r^{4}}{L}\varphi$$
−$$I = \frac{B \pi r^2}{L} \varphi$$
−
Составим уравнение колебаний по 2ЗН для вращательного движения:
−$$J \beta = k = \frac{4 \pi^2 J}{T^2} \varphi + \frac{B^2 \pi^2 r^4}{L} \varphi$$
+$$J\ddot{\varphi}=-k\varphi+M=-\frac{4 \pi^2 J}{T^2} \varphi-\frac{B^2 \pi^2 r^4}{L}\varphi\Longrightarrow \ddot{\varphi}+\left( \frac{4 \pi^2 }{T^2}+\frac{B^2 \pi^2 r^4}{JL} \right)\varphi=0$$
Период по аналогии с обычными колебаниями, после преобразований:
−$$T' = \frac{T}{\sqrt{1+\frac{B^2 r^4 T^2}{4LJ}}}$$
+$$T' = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{4 \pi^2 }{T^2}+\frac{B^2 \pi^2 r^4}{JL}} }=\frac{T}{\sqrt{1+\frac{B^2 r^4 T^2}{4LJ}}}$$
#### Ответ
$$T' = \frac{T}{\sqrt{1+\frac{B^2 r^4 T^2}{4LJ}}}$$