Альтернативное решение

Представим мысленный проводящий контур в виде кольца на границе пучка. Когда пучок переходит из поля $B_{1}$ в поле $B_{2}$, магнитный поток через это кольцо меняется от $\Phi_{1}=B_{1}\cdot\pi R^{2}$ до $\Phi_{2}=B_{2}\cdot\pi r^{2}$.

По закону Фарадея, изменение потока создает вихревое электрическое поле. Работа этого поля идёт на закручивание электрона вдоль магнитных линий. В задаче $10.1.26$ была доказана формула изменения момента импульса электрона:

$$L_{2}-L_{1}=\frac{e}{2\pi}(\Phi_{1}-\Phi_{2}) \tag{1}$$

Поскольку скорость пучка в поле $B_{1}$ параллельна индукции, то в этой области $L_{1}=0$ - электроны не вращаются. А в области поля $B_{2}$ электроны преобритают вращательную скорость $\upsilon_{\theta}$. Момент импульса станет равным $L_{2}=m\upsilon_{\theta}r$. Подставим всё в (1):

$$m\upsilon_{\theta}r=\frac{e}{2\pi}(B_{1}\cdot\pi R^{2}-B_{2}\cdot\pi r^{2}) \tag{2}$$

Отсюда:

$$\upsilon_{\theta}=\frac{e}{2mr}(B_{1}R^{2}-B_{2}r^{2}) \tag{3}$$

Критерием минимального радиуса будет то условие, что радиальная скорость сжатия пучка станет равной 0 и так как магнитное поле работы не совершает, то вся кинетическая энергия продольного движения электронов должна перейти в энергию вращательного движения.

В этой точке сила Лоренца и центробежная сила должны обеспечивать радиальное равновесие, чтобы пучок не расширялся обратно:

$$F_{л}=F_{ц} \tag{4}$$
$$-e\upsilon_{\theta}B_{2}=\frac{m\upsilon_{\theta}^{2}}{r}\Longrightarrow \upsilon_{\theta}=-\frac{eB_{2}r}{m} \tag{5}$$

Подставим (5) в (3):

$$-\frac{eB_{2}r}{m}=\frac{e}{2mr}(B_{1}R^{2}-B_{2}r^{2}) \tag{6}$$

После преобразований:

$$B_{2}r^{2}=B_{1}R^{2} \tag{7}$$

Или:

$$\boxed{r=R\sqrt{\frac{B_{1}}{B_{2}}}}$$