Решебник Савченко

Решение задач из Савченко О.Я.

Aliaksandr Melnichenka
October 2023

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#1.5">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие: </h3>

    <p>     
      $ 1.5.17.$ Бревно, упираясь нижним своим концом в угол между стеной и землей, касается дна грузовика на высоте $H$ от земли. Найдите угловую скорость бревна в зависимости от угла $α$ между ним и горизонталью, если грузовик отъезжает от стены со скоростью $v$.
  </p>
  <center>
  <figure>
    <img src="statement.png"
      loading="lazy" width="250" />
    <figcaption>
      К задаче 1.5.17
    </figcaption>
  </figure>
  </center>

  <h3> Решение: </h3>


<p>NO: Перед просмотром решения данной задачи, советую ознакомиться с решением <a href="/1.5.16">1.5.16</a></p>
<p>В момент времени $t$ автомобиль проедет расстояние путь $vt$ и дно будет иметь горизонатальную координату $x$</p>
<p> $$x = H \tan \alpha\\;(1)$$ </p>
<p>Рассмотрим изменение угла $\alpha = \arctan \frac{H}{x}$ за малый промежуток времени $dt$</p>
<p> $$d\alpha = d(\arctan \frac{H}{x})$$ </p>
<p> $$d\alpha = \frac{1}{1+\frac{H^2}{x^2}} \frac{H}{x^2}$$ </p>
<p> $$d\alpha = dx\frac{H}{x^2+H^2}$$ </p>
<p>Учитывая, что $\omega = \frac{d \alpha}{dt}$ и $v = \frac{dx}{dt}$</p>
<p> $$\omega = \frac{vH}{x^2+H^2}$$ </p>
<p>Подставляем $(1)$</p>
<p>  $$\omega = \frac{v}{H(1 +  \tan^2 \alpha)}$$ </p>
<p>  $$\fbox{$\omega = \frac{v \sin^2 \alpha}{H}$}$$ </p>

  <h3> Ответ: $\omega = \frac{v \sin^2 \alpha}{H}$</h3>


  <h3> Альтернативное решение: </h3>
  <p>За время $\Delta t$ грузовик отъедет на расстояние</p>

$$\Delta l=\upsilon \Delta t$$

При этом бревно чуть опустится, повернувшись на малый угол $\Delta \alpha$. Если длина дуги поворота $\Delta x$, то по определению радианной меры угла

$$\Delta \alpha=\frac{\Delta x }{R}$$

Угловая скорость определяется как

$$\omega=\frac{\Delta \alpha }{\Delta t }=\frac{\Delta x }{R\Delta t }$$

Но $\Delta x =\upsilon \Delta t\sin \alpha$.

$$\omega=\frac{\upsilon \Delta t\sin \alpha }{R\Delta t }=\frac{\upsilon\sin \alpha }{R}$$

Также можно записать, что

$$H=R\sin \alpha$$

С учетом этого

$$\omega=\frac{\upsilon\sin^2 \alpha}{H}$$

<footer class="row container">
    <p>
        <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> aliaksandr@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>