| <!DOCTYPE html> | | <!DOCTYPE html> |
| <html lang="ru"> | | <html lang="ru"> |
| | | |
| <head> | | <head> |
| <meta charset="utf-8"> | | <meta charset="utf-8"> |
| <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | | <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> |
| <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | | <meta http-equiv="content-language" content="ru"> |
| <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | | <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> |
| <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> | | <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> |
| <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> | | <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> |
| <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | | <meta property="og:image" content="img/logo.png"> |
| <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> | | <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> |
| <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> | | <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> |
| <title>Решебник Савченко</title> | | <title>Решебник Савченко</title> |
| <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> | | <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> |
| <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> | | <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> |
| <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | | <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> |
| <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> | | <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> |
| <script type="text/x-mathjax-config"> | | <script type="text/x-mathjax-config"> |
| MathJax.Hub.Config({ | | MathJax.Hub.Config({ |
| extensions: ['tex2jax.js'], | | extensions: ['tex2jax.js'], |
| jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], | | jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], |
| tex2jax: { | | tex2jax: { |
| inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], | | inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], |
| processEscapes: true, | | processEscapes: true, |
| processClass: 'tex2jax', | | processClass: 'tex2jax', |
| ignoreClass: 'html' | | ignoreClass: 'html' |
| }, | | }, |
| showProcessingMessages: false, | | showProcessingMessages: false, |
| messageStyle: 'none' | | messageStyle: 'none' |
| }); | | }); |
| </script> | | </script> |
| </head> | | </head> |
| <body style=""> | | <body style=""> |
| <header style="text-align:center;"> | | <header style="text-align:center;"> |
| <h2>Решение задач из Савченко О.Я.</h2> | | <h2>Решение задач из Савченко О.Я.</h2> |
| <p class="author"> | | <p class="author"> |
| Aliaksandr Melnichenka <br/> | | Aliaksandr Melnichenka <br/> |
| October 2023 | | October 2023 |
| </p> | | </p> |
| </header> | | </header> |
| | | |
| <h3 id="back-link"><a href="../../ru#2.2">$\leftarrow$Назад</a></h3> | | <h3 id="back-link"><a href="../../ru#2.2">$\leftarrow$Назад</a></h3> |
| | | |
| <h3> Условие: </h3> | | <h3> Условие: </h3> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| $2.2.47^*.$ Скорость газа, выбрасываемого ракетой, относительно нее равна $u=2 \text{ км/с}$. Оцените начальную массу ракеты, которая может вывести на орбиту Земли спутник массы $M_2=10^4 \text{ кг}$. Как изменится результат при вдвое большей скорости истечения газа? | | $2.2.47^*.$ Скорость газа, выбрасываемого ракетой, относительно нее равна $u=2 \text{ км/с}$. Оцените начальную массу ракеты, которая может вывести на орбиту Земли спутник массы $M_2=10^4 \text{ кг}$. Как изменится результат при вдвое большей скорости истечения газа? |
| </p> | | </p> |
| | | |
| <h3> Решение: </h3> | | <h3> Решение: </h3> |
| | | |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="draw.jpg" | | <img src="draw.jpg" |
| loading="lazy" width="350" /> | | loading="lazy" width="350" /> |
| <figcaption> | | <figcaption> |
| Схема движения ракеты | | Схема движения ракеты |
| </figcaption> | | </figcaption> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| Запишем закон сохранения импульса за малый промежуток времени | | Запишем закон сохранения импульса за малый промежуток времени |
| $$Mv = (M+dm)(v+dv) - dm(v+u)$$ | | $$Mv = (M+dm)(v+dv) - dm(v+u)$$ |
| $$Mv = Mv + dmu + mdv$$ | | $$Mv = Mv + dmu + mdv$$ |
| $$dmu = -mdv$$ | | $$dmu = -mdv$$ |
| Откуда получаем соотношение | | Откуда получаем соотношение |
| $$-\frac{dm}{m} = \frac{dv}{u}$$ | | $$-\frac{dm}{m} = \frac{dv}{u}$$ |
| Интегрируем обе части уравнения | | Интегрируем обе части уравнения |
| $$-\int_{M_1}^{M_2}\frac{dm}{m} = \int_{v_1}^{v_2}\frac{dv}{u}$$ | | $$-\int_{M_1}^{M_2}\frac{dm}{m} = \int_{v_1}^{v_2}\frac{dv}{u}$$ |
| $$\boxed{\ln \frac{M_1}{M_2} = \frac{\Delta{v}}{u}} \quad\text{(1)}$$ | | $$\boxed{\ln \frac{M_1}{M_2} = \frac{\Delta{v}}{u}} \quad\text{(1)}$$ |
| Это уравнение называется <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Tsiolkovsky_rocket_equation" target="_blank">формулой Циалковского</a> | | Это уравнение называется <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Tsiolkovsky_rocket_equation" target="_blank">формулой Циалковского</a> |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
| Чтобы вывести тело на орбиту, ему необходимо задать первую космическую скорость | | Чтобы вывести тело на орбиту, ему необходимо задать первую космическую скорость |
| $$v = \Delta v = \sqrt{G\frac{M}{R}} = 7.9 \text{ км/с}$$ | | $$v = \Delta v = \sqrt{G\frac{M}{R}} = 7.9 \text{ км/с}$$ |
| Подставляем в $\text{(1)}$ и получаем $M_2$ | | Подставляем в $\text{(1)}$ и получаем $M_2$ |
| $$M_1 = M_2 e^{\frac{v}{u}} = 5.2 \cdot 10^5 \text{ кг}$$ | | $$M_1 = M_2 e^{\frac{v}{u}} = 5.2 \cdot 10^5 \text{ кг}$$ |
| </p> | | </p> |
| <h4> | | <h4> |
| Ответ: | | Ответ: |
| </h4> | | </h4> |
