<script type="text/x-mathjax-config"> MathJax.Hub.Config({
  extensions: ['tex2jax.js'],
  jax: ['input/TeX','output/HTML-CSS'],
  tex2jax: {
    inlineMath: [ ['$','$'], ['\\\(','\\\)'] ],
    processEscapes: true,
    processClass: 'tex2jax',
    ignoreClass: 'html'
  },
  showProcessingMessages: false,
  messageStyle: 'none'
});
</script>

Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

<div class="container row">
  <div id="main" class="col col-lg-9">
    <div class="row">
      <div class="col caption">
        <h3 id="back-link"><a href="/ru#1.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>
      </div>
    </div>

    <div id="1" class="row odd">
      <div class="col col-lg-12">
        <h3> Условие: </h3>
        <div class="task">
          <p> 
				\\(1.1.22.\\) Внутри закрепленного гладкостенного цилиндра радиуса $R$ летает маленький шарик, упруго отражаясь от стенок так, что минимальное расстояние от него до оси цилиндра равно $h$. Какую долю времени он находится на расстоянии от оси цилиндра, меньшем $r$, но большем $h$?
			</p>
        </div>
          <center>
          <figure>
            <img src="statement.png" alt="1.1.22"
              loading="lazy" width="200" />
            <figcaption>
              К задаче 1.1.22
            </figcaption>
          </figure>
          </center>

        <h3> Решение: </h3>

          <center>
          <figure>
            <img src="animation.gif" alt="1.1.22"
              loading="lazy" width="250" />
            <figcaption>
              Соударение о стенки цилиндра
            </figcaption>
          </figure>
          </center>

Рассмотрим движени шарика, описаного в условии задачи

Т.к. между соударениями скорость удара не меняется, а удары абсолютно упругие, то можно считать скорость неизменной. Следовательно, за равные промежутки времени тело, проходит равные расстояния.

Тогда искомое отношение $\frac{\Delta t}{t}$, найдем как отношение $\frac{BC}{AD}$

$$\frac{\Delta t}{t} = \frac{BC}{AD}$$

По теореме Пифагора:

$BC = 2 \sqrt{r^2-h^2}$

$AD = 2 \sqrt{R^2-h^2}$

Отсюда

$$\frac{BC}{AD} = \frac{\sqrt{r^2-h^2}}{\sqrt{R^2-h^2}}$$

Или

$$\frac{\Delta t}{t} = \frac{\sqrt{r^2-h^2}}{\sqrt{R^2-h^2}}$$

	  </div>

	</div>

      </div>
    </div>
  </div>
</div>
</div>
<footer class="row container">
  <div class="col col-lg-3">
    <div class="footer-left">
      <p>
        <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, &nbsp;&nbsp;&nbsp; 2023-2024 <br>
        </small>
      </p>
    </div>
  </div>
  <div class="col col-lg-6">
    <div class="footer-middle">
      <p>
        <small> Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br>   
      </p>
    </div>
  </div>
</footer>