1.1.22 | revision #12491 | Savchenko Solutions

Условие

1.1.22. Внутри закрепленного гладкостенного цилиндра радиуса $$R$$ летает маленький шарик, упруго отражаясь от стенок так, что минимальное расстояние от него до оси цилиндра равно $$h$$ . Какую долю времени он находится на расстоянии от оси цилиндра, меньшем $$r$$ , но большем $$h$$ ?

Решение

Соударение о стенки цилиндра

Рассмотрим движени шарика, описаного в условии задачи

Т.к. между соударениями скорость удара не меняется, а удары абсолютно упругие, то можно считать скорость неизменной. Следовательно, за равные промежутки времени тело, проходит равные расстояния.

Тогда искомое отношение $\frac{\Delta t}{t}$ , найдем как отношение $\frac{BC}{AD}$

$\frac{\Delta t}{t} = \frac{BC}{AD}$

По теореме Пифагора:

$BC = 2 \sqrt{r^2-h^2}$

$AD = 2 \sqrt{R^2-h^2}$

Отсюда

$\frac{BC}{AD} = \frac{\sqrt{r^2-h^2}}{\sqrt{R^2-h^2}}$

Или

$\frac{\Delta t}{t} = \frac{\sqrt{r^2-h^2}}{\sqrt{R^2-h^2}}$

Ответ

$\Delta t/t=\sqrt{(r^2-h^2)/(R^2-h^2)}$